Heisenberg-Algebra
Die Heisenberg-Algebra ist eine 3-dimensionale, reelle Lie-Algebra mit den Erzeugern <math>P, Q, R</math>, für die gilt
- <math>[P, Q] = R</math>
- <math>[P, R] = [Q, R] = 0</math>
Sie ist die Lie-Algebra der Heisenberg-Gruppe.
Darstellung
Man kann die Heisenberg-Algebra als Algebra von Matrizen darstellen, indem man definiert
- <math>
P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \quad Q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \quad R = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} </math>
und als Lie-Klammer den Kommutator von Matrizen <math>[X, Y] = XY - YX</math> verwendet.
Verallgemeinerung
Entsprechend den verallgemeinerten Heisenberg-Gruppen gibt es auch verallgemeinerte Heisenberg-Algebren, die Lie-Algebren der verallgemeinerten Heisenberg-Gruppen.