Heisenberg-Gruppe
Als Heisenberg-Gruppe bezeichnet man in der Mathematik eine bestimmte Gruppe von Matrizen sowie Verallgemeinerungen davon. Jede Heisenberg-Gruppe besitzt eine topologische Struktur und ist eine Lie-Gruppe.
Die Heisenberg-Gruppe wurde von Hermann Weyl eingeführt, um in der Quantenmechanik die Äquivalenz von Heisenberg-Bild und Schrödinger-Bild zu erklären.
Definition
Obere 3×3-Dreiecksmatrizen der Form
- <math>
\begin{pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} </math>
mit Einträgen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>, die einem (beliebigen) kommutativen Ring entstammen können, bilden eine Gruppe unter der üblichen Matrizenmultiplikation, die so genannte Heisenberg-Gruppe. Die Einträge entstammen dabei oft dem Ring der reellen Zahlen oder dem der ganzen Zahlen.
Eigenschaften
Man kann die Heisenberg-Gruppe mit Einträgen aus <math>\mathbb{R}</math> als zentrale Erweiterung der Gruppe <math>(\mathbb{R}\times\mathbb{R},+)</math> auffassen, was man am besten sieht, wenn man auf <math>\mathbb{R}^3</math> durch
- <math>
(a,b,c)\cdot(a',b',c')=(a+a',b+b',c+c'+ab') </math> eine Gruppenmultiplikation definiert und
- <math>
\begin{pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a' & c' \\ 0 & 1 & b' \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a+a' & c+c'+ab'\\ 0 & 1 & b+b' \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} </math>
beachtet.
Lie-Algebra
Die Lie-Algebra der Heisenberg-Gruppe ist die Heisenberg-Algebra.
Anwendung
In der Quantenmechanik hat die Heisenberg-Gruppe die Funktion einer Symmetriegruppe.
Verallgemeinerungen
Es gibt höherdimensionale verallgemeinerte Heisenberg-Gruppen. Als Matrizengruppe besteht die <math>n</math>-te Heisenberg-Gruppe aus den quadratischen oberen Dreiecksmatrizen der Größe <math>n + 2</math> der Gestalt
- <math>\begin{pmatrix}
1 & a & c \\ 0 & E_n & b \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} </math> wobei <math>a</math> ein Zeilenvektor der Länge <math>n</math>, <math>b</math> ein Spaltenvektor der Länge <math>n</math> und <math>E_n</math> die <math>n \times n</math>-Einheitsmatrix ist.