Hölder-Ungleichung

In der mathematischen Analysis gehört die Höldersche Ungleichung zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für L^p-Räume. Sie wurde zuerst von Leonard James Rogers im Jahre 1888 bewiesen, benannt ist sie nach Otto Hölder, der sie ein Jahr später veröffentlichte<ref> Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 277. </ref>.

Aussage

Höldersche Ungleichung

Gegeben sei ein Maßraum <math> (X, \mathcal A, \mu) </math> und messbare Funktionen

<math> f,g\colon X \to \overline {\R} </math>

Für <math> p \in [1,\infty) </math> und mit der Konvention <math> \infty^p = \infty^{\frac 1p} = \infty </math> definiert man

<math> H_p(f)=\left(\int_X |f|^p \mathrm d \mu \right)^{\tfrac 1p} </math>

und

<math> H_\infty(f)= \mathrm{ess} \sup_{x\in X} |f(x)| </math>

das wesentliche Supremum. Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für <math> 1 \leq p,q \leq \infty </math> mit <math> \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1</math>, wobei <math> \tfrac 1 \infty =0 </math> vereinbart ist, gilt

Man bezeichnet <math>q</math> als den zu <math>p</math> konjugierten Hölder-Exponenten. Spezieller wird die Ungleichung auch wie folgt formuliert: Ist <math> \mathcal L^p(X, \mathcal A, \mu) </math> der Raum der <math>p</math>-fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum) und ist <math> \| \cdot\|_p </math> die Lp-Norm, so gilt für <math>f \in \mathcal L^p(X, \mathcal A, \mu), g \in \mathcal L^q(X, \mathcal A, \mu) </math> immer

<math> \|fg\|_1 \leq \|f\|_p \cdot \|g\|_q </math>.

Spezialfälle

Schwarzsche Ungleichung

Wählt man als Maßraum <math> ([a,b], \mathcal B ([a,b]), \lambda ) </math>, also ein reelles Intervall versehen mit dem Lebesgue-Maß und zwei Funktionen <math> f,g \in \mathcal L^2 ([a,b], \mathcal B ([a,b]), \lambda ) </math>, so lautet die Hölder-Ungleichung mit <math> p=q=2 </math>

<math> \int_a^b |fg| \mathrm d \lambda \leq \left(\int_a^b |f|^2 \mathrm d \lambda \right)^{\tfrac 12}\cdot \left(\int_a^b |g|^2 \mathrm d \lambda \right)^{\tfrac 12}</math>

Dies ist genau die Schwarzsche Ungleichung beziehungsweise die Integralformulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.

Cauchy-Ungleichung

Wählt man als Maßraum die endliche Menge <math> \{1,\ldots,n \}</math>, versehen mit der Potenzmenge und ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung

<math>\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q} ,</math>

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen <math>x_1, \ldots, x_n, y_1 , \ldots , y_n</math>. Für <math>p = q = 2</math> erhält man die Cauchy-Ungleichung (beziehungsweise die diskrete Formulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)

<math>| \langle x,y\rangle |\leq \|x\|_2 \cdot \|y\|_2</math>

Höldersche Ungleichung für Reihen

Wählt man als Grundmenge des Maßraumes die natürlichen Zahlen <math> \N </math>, wieder versehen mit der Potenzmenge und dem Zählmaß, so erhält man die Höldersche Ungleichung für Reihen

<math>\sum_{k=1}^\infty |a_k b_k| \leq \left( \sum_{k=1}^\infty |a_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^\infty |b_k|^q \right)^{1/q} </math>.

für reelle oder komplexe Folgen <math> (a_k)_{k \in \N}, (b_k)_{k \in \N} </math>. Im Grenzfall <math> q=\infty </math> entspricht dies

<math>\sum_{k=1}^\infty |a_k b_k| \leq \left( \sum_{k=1}^\infty |a_k| \right) \cdot \sup_{k \in \N} |b_k| </math>.

Verallgemeinerung

Es seien <math>p_j \in [1, \infty], j = 1, \ldots, m</math> sowie <math>\textstyle \frac{1}{r} := \sum_{j=1}^m\frac{1}{p_j}</math> und <math> f_j \in L^{p_j}(S)</math> für alle <math> j =1,\ldots,m</math>.

Dann folgt

und es gilt die Abschätzung

<math>\left\|\prod_{j=1}^mf_j\right\|_r \leq \prod_{j=1}^m\left\|f_j\right\|_{p_j}.</math>

Als Korollar dieser Verallgemeinerung ergibt sich der folgende Satz.

Falls <math>(a_{i,j})_{i\in\{1,2,\dots,n\}, j\in\{1,2,\dots,m\}}</math> eine Familie von <math>m</math> Folgen nicht-negativer reeller Zahlen ist, und <math>(\lambda_j)_{j\in\{1,\dots,m\}}</math> nicht-negative reelle Zahlen mit <math>\sum_{j=1}^m \lambda_j=1</math> sind, so gilt

<math>\sum_{i=1}^n \prod_{j=1}^m a_{i,j}^{\lambda_j}\le\prod_{j=1}^m\left(\sum_{i=1}^n a_{i,j}\right)^{\lambda_j}.</math>

Umgekehrte Höldersche Ungleichung

Es sei <math> g(x) \neq 0</math> für fast alle <math>x \in S</math>.

Dann gilt für alle <math>r > 1</math> die umgekehrte Höldersche Ungleichung

<math>\int_S|f(x)g(x)|dx \geq \left(\int_S|f(x)|^{\frac{1}{r}}dx\right)^r \left(\int_S|g(x)|^{-\frac{1}{r-1}}dx\right)^{-(r-1)}.</math>

Beweise

Beweis der Hölderschen Ungleichung

Für <math>p=1, q=\infty </math> (und umgekehrt) ist die Aussage der Hölderschen Ungleichung trivial. Wir nehmen daher an, dass <math>1 < p,q < \infty</math> gilt. Ohne Einschränkung seien <math>\|f\|_p > 0</math> und <math>\|g\|_q > 0</math>. Nach der youngschen Ungleichung gilt:

für alle <math>A,B \geq 0</math>. Setze hierin speziell <math> A := \tfrac{|f(x)|}{\|f\|_p},\, B := \tfrac{|g(x)|}{\|g\|_q}</math> ein. Integration liefert

<math> \frac{1}{\|f\|_p\|g\|_q}\int_S|fg|\mathrm d\mu \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,</math>

was die Höldersche Ungleichung impliziert.

Beweis der Verallgemeinerung

Der Beweis wird per vollständiger Induktion über <math>m</math> geführt. Der Fall <math>m=1</math> ist trivial. Sei also nun <math> m \geq 2</math> und ohne Einschränkung sei <math>p_1 \leq \cdots \leq p_m</math>. Dann sind zwei Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: <math>p_m = \infty.</math> Dann ist <math>\textstyle \frac{1}{r} = \sum_{j=1}^{m-1}\frac{1}{p_j}.</math> Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann

<math> \|f_1\cdots f_m\|_r \leq \|f_m\|_\infty\|f_1\cdots f_{m-1}\|_r \leq

\|f_m\|_\infty\|f_1\|_{p_1}\cdots\|f_{m-1}\|_{p_{m-1}}.</math>

Fall 2: <math>p_m < \infty</math>. Nach der (üblichen) Hölderschen Ungleichung für die Exponenten <math>\tfrac{p_m}{p_m-r}, \tfrac{p_m}{r}</math> gilt

<math>\int_S|f_1\cdots f_{m-1}|^r|f_m|^r\mathrm d\mu \leq \left(\int_S|f_1\cdots f_{m-1}|^{\frac{rp_m}{p_m-r}}\mathrm d\mu\right)^{\frac{p_m-r}{p_m}}\left(\int_S|f_m|^{p_m}\mathrm d\mu\right)^{\frac{r}{p_m}},</math>

also <math>\textstyle \|f_1\cdots f_m\|_r \leq \|f_1\cdots f_{m-1}\|_{\tfrac{rp_m}{p_m-r}}\|f_m\|_{p_m}</math>. Nun ist <math>\textstyle \sum_{j=1}^{m-1}\frac{1}{p_j} = \frac{1}{r} - \frac{1}{p_m} = \frac{p_m-r}{rp_m}</math>. Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.

Beweis der umgekehrten Hölderschen Ungleichung

Die umgekehrte Höldersche Ungleichung ergibt sich aus der (üblichen) Hölderschen Ungleichung, indem man als Exponenten <math>p := r</math> und <math> q := r' = \tfrac{p}{p-1}</math> wählt. Man erhält damit:

<math> \int_S|f|^{\frac{1}{r}}\mathrm d\mu = \int_S\left(|fg|^{\frac{1}{r}}\cdot|g|^{-\frac{1}{r}}\mathrm d\mu\right)

\leq \left(\int_S|fg|\mathrm d\mu\right)^{\frac{1}{r}}\left(\int_S|g|^{-\frac{r'}{r}}\mathrm d\mu\right)^{\frac{1}{r'}}.</math>

Umstellen und potenzieren dieser Ungleichung mit <math>r</math> liefert die umgekehrte Höldersche Ungleichung.

Anwendungen

Beweis der Minkowski-Ungleichung

Mit der Hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im <math>L^p</math>) leicht beweisen.

Interpolationsungleichung für Lebesgue-Funktionen

Seien <math> f \in L^{p_0}(S) \cap L^{p_1}(S)</math> und <math>1\leq p_1\leq p\leq p_0</math>, dann folgt <math> f \in L^p(S)</math> und es gilt die Interpolationsungleichung

<math> \|f\|_p \leq \|f\|_{p_0}^{1-\theta}\|f\|_{p_1}^\theta</math>

mit <math> \tfrac{1}{p} =: \tfrac{1-\theta}{p_0} + \tfrac{\theta}{p_1}</math> beziehungsweise <math> \theta:= \tfrac{p_1}{p}\tfrac{p_0-p}{p_0-p_1}</math> für <math> p_0 \neq p_1</math>.

Beweis: Ohne Einschränkung sei <math> p_1 < p < p_0</math>. Dies erkennt man durch ausführliche Fallunterscheidung. Fixiere <math>\lambda \in (0, 1)</math> mit <math> p = \lambda p_0 + (1-\lambda )p_1</math>. Dies ist möglich, da <math> p_0<p<p_1</math>und <math> p</math> somit auf der Verbindungsstrecke zwischen <math> p_0</math> und <math> p_1</math> liegt. Beachte, dass <math>\tfrac{1}{\lambda}</math> und <math> \tfrac{1}{1-\lambda}</math> konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der Hölderschen Ungleichung folgt

<math>\int_S|f|^{p} \mathrm d\mu = \int_S|f|^{\lambda p_0}|f|^{(1-\lambda)p_1}\mathrm d\mu

\leq \left(\int_S|f|^{p_0}\mathrm d\mu\right)^\lambda \left(\int_S|f|^{p_1}\mathrm d\mu\right)^{1-\lambda}</math>.

Potenzieren der Ungleichung mit <math>\tfrac{1}{p}</math> und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung.

Beweis der Faltungsungleichung von Young

Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung (für Faltungsintegrale)

für <math>\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1 + \tfrac{1}{r}</math> und <math>p, q, r \geq 1</math>.

Literatur

Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.

Einzelnachweise