Gieseking-Konstante

Die Gieseking-Konstante ist eine mathematische Konstante, die das maximale Volumen hyperbolischer Tetraeder angibt.<ref>Adams: The newest inductee in the number hall of fame. 1998 (englisch)</ref><ref>John W. Milnor: Hyperbolic geometry: The first 150 years. In: Bulletin of the AMS, 6, Januar 1982, S. 9–24 (englisch; Zentralblatt-Rezension; „This works out as 1.0149416....“ auf S. 20)</ref> Sie ist nach Hugo Gieseking (1887–1915) benannt, der 1912 aus einem solchen Tetraeder durch Verschmelzung von Seitenflächen die Gieseking-Mannigfaltigkeit konstruierte.<ref>Hugo Gieseking: Analytische Untersuchungen über topologische Gruppen. L. Wiegand, Hilchenbach 1912 (Inaugural-Dissertation an der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster; mit Lebenslauf bis 1911; Jahrbuch-Rezension)</ref> Colin Adams konnte 1987 nachweisen, dass die Gieseking-Mannigfaltigkeit die eindeutige nichtkompakte hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit mit minimalem Volumen ist.<ref>Colin C. Adams: The noncompact hyperbolic 3-manifold of minimal volume. In: Proceedings of the AMS, 100, August 1987, S. 601–606 (englisch; Zentralblatt-Rezension; „v = 1.01494....“ auf S. 602)</ref> Die Gieseking-Konstante wird nach Nikolai Lobatschewski auch Lobatschewski-Konstante genannt.<ref>Steven R. Finch: <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20150919160427

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  }} 5. September 2004, S. 4 (englisch)</ref>

Definition

Die Gieseking-Konstante ist definiert als

<math>G = \int_0^{2 \pi / 3} \ln \left(2 \cos \tfrac t2 \right) {\mathrm d}t = 1,01494 \; 16064 \; 09653 \; 62502 \; 12025 \; 54274 \; 52028 \; 59416 \; 89307 \; 53029 \; \ldots</math>

(siehe die Folge A143298 in OEIS).

Die Gieseking-Konstante kann auch über eine Reihenentwicklung definiert werden:

<math>G = \frac{3\sqrt{3}}{4} \left(\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(3k+1)^2}-\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(3k+2)^2} \right) = \frac{3\sqrt{3}}{4} \left( 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} - \frac{1}{8^2} \pm \ldots \right)</math>.

Beide Definitionen sind zueinander identisch.

Weitere Darstellungen

Funktionaldarstellungen

Alternative Schreibweisen der Gieseking-Konstante sind

<math>G = {\rm Cl_2} \left(\frac13 \pi\right)</math>,

wobei <math>{\rm Cl_2}</math> die Clausen-Funktion ist,

<math>G = \frac1{36} i \left( \pi^2 - 36 {\rm Li_2}(-(-1)^{2/3}) \right) = \frac12 i \left( {\rm Li_2}((-1)^{2/3}) - {\rm Li_2}((-1)^{1/3}) \right)</math>,

wobei <math>{\rm Li_2}</math> der (klassische) Dilogarithmus ist,

<math>G= D\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)</math>,

wobei <math>D</math> der Bloch-Wigner-Dilogarithmus ist,

<math>G=3\Lambda\left(\frac{\pi}{3}\right)</math>,

wobei <math>\Lambda</math> die Lobatschewski-Funktion ist, und

<math>G = \frac{\psi_{1}(\tfrac{1}{3}) - \psi_{1}(\tfrac{2}{3})}{4\sqrt{3}}</math>,

wobei <math>\psi_1</math> die Trigamma-Funktion ist.

Integraldarstellungen

Folgendes Integral entsteht durch Substitution aus der gezeigten Integraldefinition:

<math>G = \int_{0}^{1} \frac{2}{\sqrt{(1+x)(3-x)}}\ln\biggl(\frac{1}{1-x}\biggr) \mathrm{d}x</math>

Durch weitere Substitution entsteht die nun folgende Identität:

<math>G = \int_{0}^{1} \frac{8\operatorname{artanh}(x)}{(1+x)\sqrt{(1+3x)(3+x)}} \,\mathrm{d}x</math>

Dieses Integral resultiert aus der Definition der Gieseking-Konstante über ihre Reihenentwicklung:

<math>G = \frac{3\,\sqrt{3}}{4} \int_{0}^{\infty} \frac{x \exp(x)}{\exp(2x) + \exp(x) + 1} \,\mathrm{d}x</math>

Eine weitere Integraldarstellung kann mit Hilfe der sogenannten Abel-Plana-Summenformel hervorgebracht werden:

<math>G = \frac{13\,\sqrt{3}}{32} + \frac{9\,\sqrt{3}}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{x\exp(-\pi x)}{\sinh(\pi x)} \biggl[\frac{1}{(9x^2+1)^2} - \frac{2}{(9x^2+4)^2}\biggr] \mathrm{d}x</math>

Summendarstellungen

Mit den Mittleren Binomialkoeffizienten kann folgende Summenreihe über die Gieseking-Konstante aufgestellt werden:

<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 \operatorname{CBC}(n)} = \frac{2 \,\pi}{3} \,G - \frac{4}{3}\,\zeta(3)</math>

So ist der Mittlere Binomialkoeffizient definiert:

<math>\operatorname{CBC}(n) = {2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} =\frac{\Pi(2n)}{\Pi(n)^2}</math>

<math>\operatorname{CBC}(n) = \prod_{m = 1}^{\infty} \bigl[ \bigl(1 + \frac{n}{m}\bigr)^2 \bigl(1 + \frac{2n}{m}\bigr)^{-1} \bigr]</math>

Die beiden nun genannten Formeln stimmen miteinander überein.

Literatur

Colin C. Adams: The newest inductee in the number hall of fame, Mathematics Magazine 71, Dezember 1998, S. 341–349 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
Steven R. Finch: Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 233 (englisch; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: Mathematical Constants.)

Weblinks

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Einzelnachweise