Zum Inhalt springen

Clausen-Funktion

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Datei:Clausen2 4.svg
Graph der Clausen-Funktion <math>\mathrm{Cl}_2(\theta)</math> (rot) und <math>\mathrm{Cl}_4(\theta)</math> (grün)

In der Mathematik ist die Clausen-Funktion (nach Thomas Clausen) durch das folgende Integral definiert:

<math>\operatorname{Cl}_2(\theta) = - \int_0^\theta \log|2 \sin(t/2)| \, \mathrm{d}t.</math>

Allgemeine Definition

Allgemeiner definiert man für komplexe <math>s</math> mit <math>\operatorname{Re}(s) > 1</math>:

<math>\operatorname{Cl}_s(\theta) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\theta)}{n^s} = \sin (\theta) + \frac{\sin (2\theta)}{2^s} + \frac{\sin (3\theta)}{3^s} + \frac{\sin (4\theta)}{4^s} + \cdots</math>

Diese Definition kann auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortgesetzt werden.

Verallgemeinerte Definition

Datei:Mplwp Glaisher-Clausen.svg
Beispiele von Glaisher-Clausen-Funktionen im Intervall <math>[0,\, 2 \cdot \pi]</math>.
Datei:Mplwp Standard Clausen.svg
Beispiele von Standard-Clausen-Funktionen im Intervall <math>[0, \, 2 \cdot \pi]</math>.

Eine verallgemeinerte Definition der Clausen-Funktionen für lautet:

<math>\operatorname{Cl_{z}}\left( \theta \right) = \begin{cases} \operatorname{S_{z}}\left( \theta \right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin\left( k \cdot \theta \right)}{k^{z}}\\ \operatorname{C_{z}}\left( \theta \right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos\left( k \cdot \theta \right)}{k^{z}}\\ \end{cases}</math><ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Eric W. Weisstein|Eric W. Weisstein: }}{{#if:|{{#if:Clausen Function|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Clausen Function}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://mathworld.wolfram.com/%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Clausen Function}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://mathworld.wolfram.com/}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Clausen Function}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2023-02-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

          | )
          | {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ; 
              | )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://mathworld.wolfram.com/%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://mathworld.wolfram.com/}}%7C%7C}}}}{{#if:Clausen Function|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Clausen Function|lines=0}}||}}}}{{#if: | In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{{werk}}}}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: |,|{{#if: 2023-02-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format|{{{datum}}}|noerror=1}}
            |{{#invoke:DateTime|format|{{{datum}}}|T._Monat JJJJ}}
            |{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum={{{datum}}}|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2023-02-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2023-02-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2104118||(?)}}}}}}{{#if: 2023-02-15|;}}}}{{#if: 2023-02-15| {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2023-02-15 |ISO|noerror=1}} }}
       |4=im Jahr
       |7=im
       |10=am
       |#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2023-02-15|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2023-02-15|T._Monat JJJJ}}
    | {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:{{#if: 2023-02-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
       |  (
       | {{#if: | |  (}}
       }}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
          {{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: {{#if: 2023-02-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
 #if: 
 | „{{
     #ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
     | Vorlage:Str trim
     | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
     }}“
 | {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
     | „Vorlage:Str trim“
     | {{#invoke:Text|quote
         |1={{#if: 
              | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
              | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
         |2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
         |3=1}} }}

}}{{#if: 

   |  (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if:  | :  }}{{#if:  | , deutsch: „“ }})
   | {{#if: 
       |  ({{#if:  | , deutsch: „“ }})
       | {{#if:  |  (deutsch: „“) }}
 }}

}}{{#if: {{{zitat}}} 

   | {{#if: 
       | {{#if: {{{zitat}}}
           | Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
   | Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if:  | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
             | Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
             | {{{ref}}} }}

}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch: 

   |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://mathworld.wolfram.com/
       | {{#if:  | [1] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive (T)){{#if: 
           | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}
       |   (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.)
     }}{{#switch: 
         |no|0|=
         |#default={{#if:  ||  }}
    }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |opt      = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
    }}{{#if: https://mathworld.wolfram.com/
      | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mathworld.wolfram.com/}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
      | {{#if: 
           | {{#if:  ||  }}
           | {{#if:  ||  }}
        }}
    }}{{#if: 
       | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
         }}
    }}{{#switch: deadurl
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://mathworld.wolfram.com/ Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. (T).)  {{#if: 
            | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: 
          |no|0|=
          |#default= {{#if:  ||  }}
        }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |all      = inline= url=
         |opt      = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
       }}{{#if: https://mathworld.wolfram.com/
       | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mathworld.wolfram.com/}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
    }}{{#if: 
         | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
           }}
    }}{{#switch: deadurl
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}[https://mathworld.wolfram.com/ }}|{{#switch: 
   |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://mathworld.wolfram.com/
       | {{#if:  | [2] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive (T)){{#if: 
           | {{#if:  | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}
       |   (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.)
     }}{{#switch: 
         |no|0|=
         |#default={{#if:  ||  }}
    }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |opt      = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
    }}{{#if: https://mathworld.wolfram.com/
      | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mathworld.wolfram.com/}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
      | {{#if: 
           | {{#if:  ||  }}
           | {{#if:  ||  }}
        }}
    }}{{#if: 
       | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
         }}
    }}{{#switch: 
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://mathworld.wolfram.com/ Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. (T).)  {{#if: 
            | {{#if:  | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: 
          |no|0|=
          |#default= {{#if:  ||  }}
        }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |all      = inline= url=
         |opt      = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
       }}{{#if: https://mathworld.wolfram.com/
       | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mathworld.wolfram.com/}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
    }}{{#if: 
         | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
           }}
    }}{{#switch: 
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}[https://mathworld.wolfram.com/ }} }}}}}}}}}}{{#if:|
        {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}

}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref>

Clausen-Funktionen der Form <math>\operatorname{S_{z}}\left( \theta \right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin\left( k \cdot \theta \right)}{k^{z}}</math> sind Glaisher-Clausen-Funktionen (nach James Whitbread Lee Glaisher) und <math>\operatorname{C_{z}}\left( \theta \right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos\left( k \cdot \theta \right)}{k^{z}}</math> sind Standard-Clausen-Funktionen.

Beziehung zum Polylogarithmus

Die Clausen-Funktion steht in Beziehung zum Polylogarithmus:

<math>\operatorname{Cl}_s(\theta)

= \operatorname{Im} (\operatorname{Li}_s(e^{i \theta}))</math>.

Kummers Beziehung

Ernst Kummer und Rogers führen folgende für <math>0\leq \theta \leq 2\pi</math> gültige Beziehung an:

<math>\operatorname{Li}_2(e^{i \theta}) = \zeta(2) - \theta(2\pi-\theta)/4 + i\operatorname{Cl}_2(\theta)</math>

Beziehung zu den Dirichlet L-Funktionen

Für rationale Werte von <math>\theta/\pi</math> kann die Funktion <math>\sin(n\theta)</math> als periodischer Orbit eines Elementes einer zyklischen Gruppe aufgefasst werden. Folglich kann <math>\operatorname{Cl}_s(\theta)</math> als einfache Summe aufgefasst werden, welche die hurwitzsche Zeta-Funktion beinhaltet. Das erlaubt es, Beziehungen zwischen bestimmten dirichletschen L-Funktionen einfach zu berechnen.

Die Clausen-Funktion als eine Regularisierungs-Methode

Die Clausen-Funktion kann auch als Methode betrachtet werden, um folgenden divergenten Fourier-Reihen eine Bedeutung zu geben:

<math>\sin(\theta ) +2\sin(2\theta ) + 3\sin(3\theta) + \dots </math>

was mit <math>\operatorname{Cl}_{-1}(\theta) </math> bezeichnet werden kann. Durch Integration erhält man:

<math> \cos(\theta) + \cos(2\theta) + \cos(3 \theta) + \dots= -\int d{\theta} \operatorname{Cl}_{-1}(\theta) </math>

Dieses Ergebnis kann durch analytische Fortsetzung für alle negativen <math>s</math> verallgemeinert werden.

Reihenentwicklung

Eine Reihenentwicklung für die Clausen-Funktion (für <math>|\theta|<2\pi</math>) ist

<math>\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} =

1-\log|\theta| + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^{2n} \text{.} </math>

<math>\zeta(s)</math> ist dabei die riemannsche Zeta-Funktion. Eine schneller konvergierende Reihe ist

<math>\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} =

3-\log\left[|\theta| \left(1-\frac{\theta^2}{4\pi^2}\right)\right] -\frac{2\pi}{\theta} \log \left( \frac{2\pi+\theta}{2\pi-\theta}\right) +\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^{2n} \text{.} </math>

Die Konvergenz wird dadurch sichergestellt, dass <math>\zeta(n)-1</math> für große <math>n</math> schnell gegen 0 konvergiert.

Spezielle Werte

Allgemeine Spezielle Fälle

Einige Spezialfälle sind gegeben durch:<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Eric W. Weisstein|Eric W. Weisstein: }}{{#if:|{{#if:Clausen Function|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Clausen Function}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://mathworld.wolfram.com/%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Clausen Function}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://mathworld.wolfram.com/}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Clausen Function}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2023-02-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

          | )
          | {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ; 
              | )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://mathworld.wolfram.com/%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://mathworld.wolfram.com/}}%7C%7C}}}}{{#if:Clausen Function|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Clausen Function|lines=0}}||}}}}{{#if: | In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{{werk}}}}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: |,|{{#if: 2023-02-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format|{{{datum}}}|noerror=1}}
            |{{#invoke:DateTime|format|{{{datum}}}|T._Monat JJJJ}}
            |{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum={{{datum}}}|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2023-02-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2023-02-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2104118||(?)}}}}}}{{#if: 2023-02-15|;}}}}{{#if: 2023-02-15| {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2023-02-15 |ISO|noerror=1}} }}
       |4=im Jahr
       |7=im
       |10=am
       |#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2023-02-15|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2023-02-15|T._Monat JJJJ}}
    | {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:{{#if: 2023-02-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
       |  (
       | {{#if: | |  (}}
       }}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
          {{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: {{#if: 2023-02-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
 #if: 
 | „{{
     #ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
     | Vorlage:Str trim
     | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
     }}“
 | {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
     | „Vorlage:Str trim“
     | {{#invoke:Text|quote
         |1={{#if: 
              | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
              | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
         |2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
         |3=1}} }}

}}{{#if: 

   |  (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if:  | :  }}{{#if:  | , deutsch: „“ }})
   | {{#if: 
       |  ({{#if:  | , deutsch: „“ }})
       | {{#if:  |  (deutsch: „“) }}
 }}

}}{{#if: {{{zitat}}} 

   | {{#if: 
       | {{#if: {{{zitat}}}
           | Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
   | Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if:  | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
             | Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
             | {{{ref}}} }}

}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch: 

   |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://mathworld.wolfram.com/
       | {{#if:  | [3] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive (T)){{#if: 
           | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}
       |   (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.)
     }}{{#switch: 
         |no|0|=
         |#default={{#if:  ||  }}
    }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |opt      = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
    }}{{#if: https://mathworld.wolfram.com/
      | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mathworld.wolfram.com/}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
      | {{#if: 
           | {{#if:  ||  }}
           | {{#if:  ||  }}
        }}
    }}{{#if: 
       | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
         }}
    }}{{#switch: deadurl
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://mathworld.wolfram.com/ Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. (T).)  {{#if: 
            | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: 
          |no|0|=
          |#default= {{#if:  ||  }}
        }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |all      = inline= url=
         |opt      = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
       }}{{#if: https://mathworld.wolfram.com/
       | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mathworld.wolfram.com/}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
    }}{{#if: 
         | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
           }}
    }}{{#switch: deadurl
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}[https://mathworld.wolfram.com/ }}|{{#switch: 
   |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://mathworld.wolfram.com/
       | {{#if:  | [4] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive (T)){{#if: 
           | {{#if:  | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}
       |   (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.)
     }}{{#switch: 
         |no|0|=
         |#default={{#if:  ||  }}
    }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |opt      = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
    }}{{#if: https://mathworld.wolfram.com/
      | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mathworld.wolfram.com/}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
      | {{#if: 
           | {{#if:  ||  }}
           | {{#if:  ||  }}
        }}
    }}{{#if: 
       | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
         }}
    }}{{#switch: 
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://mathworld.wolfram.com/ Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. (T).)  {{#if: 
            | {{#if:  | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: 
          |no|0|=
          |#default= {{#if:  ||  }}
        }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |all      = inline= url=
         |opt      = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
       }}{{#if: https://mathworld.wolfram.com/
       | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mathworld.wolfram.com/}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
    }}{{#if: 
         | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
           }}
    }}{{#switch: 
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}[https://mathworld.wolfram.com/ }} }}}}}}}}}}{{#if:|
        {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}

}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref>

<math>\begin{align} \operatorname{S_{1}}\left( \theta \right) &= \frac{1}{2} \cdot \pi - \frac{1}{2} \cdot \theta\\ \operatorname{S_{3}}\left( \theta \right) &= \frac{1}{6} \cdot \pi^{2} \cdot \theta - \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot \theta^{2} + \frac{1}{12} \cdot \theta^{3}\\ \operatorname{S_{5}}\left( \theta \right) &= \frac{1}{90} \cdot \pi^{4} \cdot \theta - \frac{1}{36} \cdot \pi^{2} \cdot \theta^{3} + \frac{1}{48} \cdot \pi \cdot \theta^{4} - \frac{1}{240} \cdot \theta^{5}\\ \operatorname{C_{2}}\left( \theta \right) &= \frac{1}{6} \cdot \pi^{2} \cdot \theta - \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot \theta + \frac{1}{4} \cdot \theta^{2}\\ \operatorname{C_{4}}\left( \theta \right) &= \frac{1}{90} \cdot \pi^{4} \cdot \theta - \frac{1}{12} \cdot \pi^{2} \cdot \theta^{2} + \frac{1}{12} \cdot \pi \cdot \theta^{3} - \frac{1}{48} \cdot \theta^{4}\\ \end{align}</math>

(für <math>0 \leq \theta \leq 2 \cdot \pi</math>)

Weitere Spezialfälle sind:

<math>\begin{align} \operatorname{S_{n}}\left( \theta \right) &= \frac{i}{2} \cdot \left[ \operatorname{Li_{n}}\left( \exp\left( - \theta \cdot i \right) \right) - \operatorname{Li_{n}}\left( \exp\left( \theta \cdot i \right) \right) \right]\\ \operatorname{C_{n}}\left( \theta \right) &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \operatorname{Li_{n}}\left( \exp\left( - \theta \cdot i \right) \right) + \operatorname{Li_{n}}\left( \exp\left( \theta \cdot i \right) \right) \right]\\ \end{align}</math>

wobei <math>\operatorname{Li_{n}}</math> der Polylogarithmus ist,

<math>\operatorname{Ti_{2}}\left( \tan\left( \theta \right) \right) = \theta \cdot \log\left( \tan\left( \theta \right) \right) + \frac{1}{2} \cdot \operatorname{Cl_{2}}\left( 2 \cdot \theta \right) + \frac{1}{2} \cdot \operatorname{Cl_{2}}\left( \pi - 2 \cdot \theta \right)</math>

für <math>0 \leq \tan\left( \theta \right) \leq 1</math> wobei <math>\operatorname{Ti_{2}}</math> das Arkustangensintegral ist,

<math>\operatorname{Cl}_{2}(2\pi z) = 2\pi \log \left( \frac{G(1-z)}{G(1+z)} \right) +2\pi z \log \left( \frac{\pi}{ \sin \pi z } \right) </math>

<math>\operatorname{Cl}_{2}(2\pi z) = 2\pi \log \left( \frac{G(1-z)}{G(z)} \right) -2\pi \log \Gamma(z)+2\pi z \log \left( \frac{\pi}{ \sin \pi z } \right) </math>

wobei <math>G</math> Barnessche G-Funktion und <math>\Gamma</math> die Gammafunktion ist,

<math>\operatorname{Cl}_2(\theta) = \mathcal{L}s_2^{0}(\theta) </math><ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Eric W. Weisstein|Eric W. Weisstein: }}{{#if:|{{#if:Log Sine Function|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Log Sine Function}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://mathworld.wolfram.com/%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Log Sine Function}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://mathworld.wolfram.com/}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Log Sine Function}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2023-02-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

          | )
          | {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ; 
              | )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://mathworld.wolfram.com/%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://mathworld.wolfram.com/}}%7C%7C}}}}{{#if:Log Sine Function|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Log Sine Function|lines=0}}||}}}}{{#if: | In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{{werk}}}}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: |,|{{#if: 2023-02-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format|{{{datum}}}|noerror=1}}
            |{{#invoke:DateTime|format|{{{datum}}}|T._Monat JJJJ}}
            |{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum={{{datum}}}|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2023-02-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2023-02-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:2104118||(?)}}}}}}{{#if: 2023-02-15|;}}}}{{#if: 2023-02-15| {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2023-02-15 |ISO|noerror=1}} }}
       |4=im Jahr
       |7=im
       |10=am
       |#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2023-02-15|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2023-02-15|T._Monat JJJJ}}
    | {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:{{#if: 2023-02-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
       |  (
       | {{#if: | |  (}}
       }}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
          {{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: {{#if: 2023-02-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
 #if: 
 | „{{
     #ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
     | Vorlage:Str trim
     | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
     }}“
 | {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
     | „Vorlage:Str trim“
     | {{#invoke:Text|quote
         |1={{#if: 
              | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
              | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
         |2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
         |3=1}} }}

}}{{#if: 

   |  (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if:  | :  }}{{#if:  | , deutsch: „“ }})
   | {{#if: 
       |  ({{#if:  | , deutsch: „“ }})
       | {{#if:  |  (deutsch: „“) }}
 }}

}}{{#if: {{{zitat}}} 

   | {{#if: 
       | {{#if: {{{zitat}}}
           | Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
   | Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if:  | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
             | Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
             | {{{ref}}} }}

}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch: 

   |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://mathworld.wolfram.com/
       | {{#if:  | [5] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive (T)){{#if: 
           | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}
       |   (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.)
     }}{{#switch: 
         |no|0|=
         |#default={{#if:  ||  }}
    }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |opt      = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
    }}{{#if: https://mathworld.wolfram.com/
      | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mathworld.wolfram.com/}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
      | {{#if: 
           | {{#if:  ||  }}
           | {{#if:  ||  }}
        }}
    }}{{#if: 
       | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
         }}
    }}{{#switch: deadurl
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://mathworld.wolfram.com/ Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. (T).)  {{#if: 
            | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: 
          |no|0|=
          |#default= {{#if:  ||  }}
        }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |all      = inline= url=
         |opt      = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
       }}{{#if: https://mathworld.wolfram.com/
       | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mathworld.wolfram.com/}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
    }}{{#if: 
         | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
           }}
    }}{{#switch: deadurl
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}[https://mathworld.wolfram.com/ }}|{{#switch: 
   |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://mathworld.wolfram.com/
       | {{#if:  | [6] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive (T)){{#if: 
           | {{#if:  | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}
       |   (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.)
     }}{{#switch: 
         |no|0|=
         |#default={{#if:  ||  }}
    }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |opt      = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
    }}{{#if: https://mathworld.wolfram.com/
      | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mathworld.wolfram.com/}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
      | {{#if: 
           | {{#if:  ||  }}
           | {{#if:  ||  }}
        }}
    }}{{#if: 
       | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
         }}
    }}{{#switch: 
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://mathworld.wolfram.com/ Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. (T).)  {{#if: 
            | {{#if:  | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: 
          |no|0|=
          |#default= {{#if:  ||  }}
        }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |all      = inline= url=
         |opt      = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
       }}{{#if: https://mathworld.wolfram.com/
       | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://mathworld.wolfram.com/}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
    }}{{#if: 
         | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
           }}
    }}{{#switch: 
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}[https://mathworld.wolfram.com/ }} }}}}}}}}}}{{#if:|
        {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}

}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref>,

wobei <math>\mathcal{L}s_2^{0} </math> der verallgemeinerte Logsinus <math>{\displaystyle {\mathcal {L}}s_{n}^{m}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }x^{m}\log ^{n-m-1}\left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx} </math> ist

<math>\operatorname{Cl}_s\left(\frac{\pi}{2}\right)=\beta(s)</math>

wobei <math>\beta(s)</math> die dirichletsche Beta-Funktion ist.

Spezifische Fälle

Einige spezielle Werte sind:

<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)=K</math>,
<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{3}\right)=3\pi \log\left(

\frac{G\left(\frac{2}{3}\right)}{ G\left(\frac{1}{3}\right)} \right)-3\pi \log \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)+\pi \log \left(\frac{ 2\pi }{\sqrt{3}}\right)</math>,

<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{2\pi}{3}\right)=2\pi \log\left(

\frac{G\left(\frac{2}{3}\right)}{ G\left(\frac{1}{3}\right)} \right)-2\pi \log \Gamma\left(\frac{1}{3}\right) +\frac{2\pi}{3} \log \left(\frac{ 2\pi }{\sqrt{3}}\right)</math>,

<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{4}\right)=

2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{7}{8}\right)}{G\left(\frac{1}{8}\right)} \right) -2\pi \log \Gamma\left(\frac{1}{8}\right)+\frac{\pi}{4}\log \left( \frac{2\pi}{\sqrt{2-\sqrt{2}}} \right)</math>,

<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{3\pi}{4}\right)=

2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{5}{8}\right)}{G\left(\frac{3}{8}\right)} \right) -2\pi \log \Gamma\left(\frac{3}{8}\right)+\frac{3\pi}{4}\log \left( \frac{2\pi}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} \right)</math>,

<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{6}\right)=

2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{11}{12}\right)}{G\left(\frac{1}{12}\right)} \right) -2\pi \log \Gamma\left(\frac{1}{12}\right)+\frac{\pi}{6}\log \left( \frac{2\pi \sqrt{2} }{\sqrt{3}-1} \right)</math> und

<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{5\pi}{6}\right)=

2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{7}{12}\right)}{G\left(\frac{5}{12}\right)} \right) -2\pi \log \Gamma\left(\frac{5}{12}\right)+\frac{5\pi}{6}\log \left( \frac{2\pi \sqrt{2} }{\sqrt{3}+1} \right)</math>

wobei K die catalansche Konstante ist.

Literatur

  • {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
  • {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}

Einzelnachweise

<references />

Abgerufen von „https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Clausen-Funktion&oldid=2104118“