Barnessche G-Funktion
Die Barnessche <math>G</math>-Funktion, typischerweise mit <math>G(z)</math> bezeichnet, ist eine Funktion, die eine Erweiterung der Superfakultäten auf die komplexen Zahlen darstellt. Sie steht in Beziehung zur Gammafunktion, der <math>K</math>-Funktion und der Konstanten von Glaisher-Kinkelin und ist nach dem Mathematiker Ernest William Barnes benannt.<ref>Ernest W. Barnes: The theory of the <math>G</math>-function. In: The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, Bd. 31 (1900), Seiten 264–314.</ref>
Formal ist die Barnessche <math>G</math>-Funktion in der Form eines Weierstraß-Produkts definiert als
- <math>G(z+1)=(2\pi)^{z/2} e^{-[z(z+1)+\gamma z^2]/2}\prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)^ne^{-z+z^2/(2n)}\right]</math>
wobei <math>\gamma</math> die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.
Differenzengleichung, Funktionalgleichung und spezielle Werte
Die Barnessche <math>G</math>-Funktion erfüllt die Differenzengleichung
- <math>G(z+1)=\Gamma(z)G(z) </math>
mit der Normierung <math>G(1)=1.</math> Die Differenzengleichung impliziert, dass <math>G</math> die folgenden Werte für ganzzahlige Argumente annimmt:
- <math>G(n)=\begin{cases} 0,&\text{falls }n=0,-1,-2,\ldots\\ \prod_{i=0}^{n-2} i!,&\text{falls }n=1,2,\ldots\end{cases}</math>
so dass
- <math>G(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{K(n)}</math>
wobei <math>\Gamma(n)</math> die Gammafunktion und <math>K(n)</math> die K-Funktion bezeichnen. Die Differenzengleichung definiert die <math>G</math>-Funktion eindeutig, wenn die Konvexitätsbedingung
- <math>(\forall x \geq 1) \, \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}x^3}\log(G(x))\geq 0</math>
gestellt wird.<ref>Marie-France Vignéras: L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe modulaire <math>SL(2,\mathbb{Z})</math>. In: Astérisque, Bd. 61 (1979), Seiten 235–249, {{#invoke:URIutil|{{#ifeq:1|1|linkISSN|targetISSN}}|0303-1179|0}}{{#ifeq:1|0|[!] }}{{#ifeq:0|1
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Die Differenzengleichung der <math>G</math>-Funktion und die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion liefern die folgende Funktionalgleichung für die <math>G</math>-Funktion, wie ursprünglich von Hermann Kinkelin bewiesen wurde:
- <math> G(1-z) = G(1+z)\frac{ 1}{(2\pi)^z} \exp \int\limits_0^z \pi t \cot \pi t \, \mathrm dt.</math>
Multiplikationsformel
Wie die Gamma-Funktion erfüllt auch die <math>G</math>-Funktion eine Multiplikationsformel:<ref>Moshe Y. Vardi: Determinants of Laplacians and multiple gamma functions. In: SIAM Journal on Mathematical Analysis, Bd. 19 (1988), Seiten 493–507, {{#invoke:URIutil|{{#ifeq:1|1|linkISSN|targetISSN}}|0036-1410|0}}{{#ifeq:1|0|[!] }}{{#ifeq:0|1
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- <math>
G(nz)= K(n) n^{n^{2}z^{2}/2-nz} (2\pi)^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}G\left(z+\frac{i+j}{n}\right) </math> wobei <math>K(n)</math> eine Funktion ist, die durch
- <math> K(n)= e^{-(n^2-1)\zeta^\prime(-1)} \cdot
n^{\frac{5}{12}}\cdot(2\pi)^{(n-1)/2}\,=\, (Ae^{-\frac{1}{12}})^{n^2-1}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi)^{(n-1)/2}.</math>
gegeben ist. Hierbei ist <math>\zeta^\prime</math> die Ableitung der Riemannschen Zeta-Funktion und <math>A</math> die Konstante von Glaisher-Kinkelin.
Asymptotische Entwicklung
Die Funktion <math>\log \,G(z+1 )</math> hat die folgende asymptotische Entwicklung, die von Barnes gefunden wurde:
- <math> \log G(z+1)=\frac{1}{12} - \log A + \frac{z}{2}\log 2\pi +\left(\frac{z^2}{2} -\frac{1}{12}\right)\log z -\frac{3z^2}{4}+
\sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}} + O\left(\frac{1}{z^{2N+2}}\right).</math>
Hierbei bezeichnet <math>B_{k}</math> die Bernoulli-Zahlen und <math>A</math> die Konstante von Glaisher-Kinkelin. (Man beachte, dass zur Zeit von Barnes<ref>Edmund Taylor Whittaker, George N. Watson: A Course of Modern Analysis. 4. Aufl. Cambridge University Press, Cambridge 1990, ISBN 978-0-521-09189-3.</ref> die Bernoulli-Zahl <math>B_{2k}</math> als <math>(-1)^{k+1} B_k </math> geschrieben wurde. Diese Konvention wird nicht länger verwendet.) Die Entwicklung ist gültig für <math>z </math> in jedem Sektor, der nicht die negative reelle Achse enthält.
Weblink
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Barnes <math>G</math>-Function. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Einzelnachweise
<references/>