Trigamma-Funktion
In der Mathematik ist die Trigamma-Funktion die zweite Polygammafunktion<ref>{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Polygamma Function. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}</ref>; die erste Polygammafunktion ist die Digammafunktion <math>\psi</math>. Die Trigammafunktion ist damit eine spezielle Funktion und wird üblicherweise mit <math>\psi_1</math> bezeichnet und als zweite Ableitung der Funktion <math>\ln</math><math>(\Gamma(x))</math> definiert, wobei <math>\Gamma</math> die Gammafunktion bezeichnet.
Definition und weitere Darstellungen
Die Definition lautet:
- <math>\psi_1(z)=\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2} \ln\Gamma(z).</math>
Daraus folgt der Zusammenhang mit der Digammafunktion <math>\psi(z)</math>, dass
- <math>\psi_1(z) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dz} \psi(z)</math>
die Trigammafunktion die Ableitung der Digammafunktion ist.
Aus der Summendarstellung
- <math>\psi_1(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(z + n)^2} = \zeta(2,z)</math>
folgt, dass die Trigammafunktion ein Spezialfall der hurwitzschen <math>\zeta</math>-Funktion<ref>{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Hurwitz Zeta Function. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}</ref> ist.
Eine Darstellung als Doppelintegral ist
- <math>\psi_1(z)=\int\limits_0^1 \frac{\mathrm dy}{y} \int\limits_0^y \frac{x^{z-1}\,\mathrm dx}{1 - x}.</math>
Außerdem gilt
- <math>\psi_1(z)= -\int\limits_0^1 \frac{x^{z-1}\ln{x}}{1-x}\,\mathrm dx.</math>
Berechnung und Eigenschaften
Die asymptotische Berechnung schließt die Bernoulli-Zahlen <math>B_{2k}</math> ein:
- <math>\psi_1(z) \sim \frac1z + \frac1{2z^2} + \sum_{k=1}^N \frac{B_{2k}}{z^{2k+1}}</math>.
Zwar ist die Reihe für kein <math> z </math> mit <math> N \to \infty </math> konvergent, jedoch stellt diese Formel für nicht zu groß gewählte <math> N </math> eine sehr gute Näherung dar. Je größer <math> |z| </math> ist, desto größer kann <math> N </math> gewählt werden.
Die Rekursionsformel der Trigammafunktion lautet:
- <math> \psi_1(z + 1) = \psi_1(z) - \frac{1}{z^2}</math>
Die Funktionalgleichung der Trigammafunktion hat die Form einer Reflexionsgleichung und ist gegeben durch:
- <math> \psi_1(1 - z) + \psi_1(z) = \pi^2\csc^2(\pi z). \,</math>
Hier ist <math> \csc </math> der Kosekans.
Spezielle Werte
Es folgt eine Auflistung einiger spezieller Werte der Trigammafunktion, wobei <math>G</math> die Catalansche Konstante, <math>\zeta(x)</math> die Riemannsche Zetafunktion und <math>\rm{Cl}_2</math> die Clausen-Funktion<ref>{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Clausen Function. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}</ref> bezeichnet.
- <math>\begin{align}
&\psi_1\left(\tfrac14\right) &={}& \pi^2+8G \\ &\psi_1\left(\tfrac13\right) &={}& \tfrac23\pi^2+3\sqrt3\cdot\rm{Cl}_2(\tfrac23\pi)\\ &\psi_1\left(\tfrac12\right) &={}& \tfrac12\pi^2\\ &\psi_1\left(\tfrac23\right) &={}& \tfrac23\pi^2-3\sqrt3\cdot\rm{Cl}_2(\tfrac23\pi)\\ &\psi_1\left(\tfrac34\right) &={}& \pi^2-8G \\ &\psi_1\,(1) &={}& \zeta(2) = \tfrac16\pi^2\\ &\psi_1\left(\tfrac54\right) &={}& \pi^2+8G-16 \\ &\psi_1\left(\tfrac32\right) &={}& \tfrac12\pi^2-4\\ &\psi_1\,(2) &={}& \tfrac16\pi^2-1 \end{align}</math>
Einzelnachweise
<references/>
- Milton Abramowitz und Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. Abschnitt §6.4
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Trigamma Function. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}