Formelsammlung Arithmetik
Notation
- Buchstaben am Anfang des Alphabets <math>(a,b,c, \ldots)</math> stehen für beliebige Zahlen.
- Buchstaben in der Mitte des Alphabets <math>(i,j,m,n, \ldots)</math> stehen für natürliche Zahlen.
- Buchstaben am Ende des Alphabets <math>(x,y, \ldots)</math> stehen für Variablen.
- Es gilt die Operatorrangfolge (Punktrechnung vor Strichrechnung): Rechenoperationen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) binden stärker als die der ersten Stufe (Addition und Subtraktion) und Rechenoperationen der dritten Stufe (Wurzelziehen und Potenzieren) stärker als die der zweiten Stufe.
- Es gilt die Klammerregel: Stehen Operationen in Klammern, so werden diese zuerst ausgeführt. Stehen Operationen der gleichen Stufe ohne Klammern hintereinander, so werden die Operationen von links nach rechts ausgeführt.
Grundrechenarten
Rechenoperationen
- <math>a + b = c</math> (Summand + Summand = Summe)
- <math>a - b = c</math> (Minuend − Subtrahend = Differenz)
- <math>a \cdot b = c</math> (Faktor · Faktor = Produkt)
- <math>a : b = c</math> (Dividend : Divisor = Quotient)
- Die Division durch null ist dabei nicht definiert.
Klammerregeln
- <math>a + (b + c) = a + b + c</math>
- <math>a + (b - c) = a + b - c</math>
- <math>a - (b + c) = a - b - c</math>
- <math>a - (b - c) = a - b + c</math>
Rechengesetze
- <math> a + \left( b + c \right) = \left( a + b \right) + c </math>
- <math> a \cdot \left( b \cdot c \right) = \left( a \cdot b \right) \cdot c </math>
- <math> a + b = b + a \,</math>
- <math> a \cdot b = b \cdot a </math>
- <math> a \cdot \left( b + c \right) = a \cdot b + a \cdot c </math>
- <math> \left( a + b \right) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c </math>
Neutralität von <math>0</math> und <math>1</math>
- <math>a + 0 = 0 + a = a</math>
- <math>a \cdot 1 = 1 \cdot a = a</math>
Binomische Formeln
- <math>(a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2</math>
- <math>(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2</math>
- <math>(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2</math>
Bruchrechnung
Bezeichnungen
- <math>\frac{a}{b} = a : b</math> (Zähler : Nenner)
- Zähler und Nenner sind ganze Zahlen, wobei der Nenner nicht null sein darf.
Spezialfälle
- Stammbruch: <math>a = 1</math>
- Echter Bruch: <math>a < b</math>
- Unechter Bruch: <math>a > b</math>
- Scheinbruch: <math>a = b \cdot c</math> mit einer ganzen Zahl <math>c</math>
- Kehrbruch: <math>a</math> und <math>b</math> werden vertauscht
Rechenregeln
Vorzeichen
- <math>\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = - \frac{a}{b}</math>
- <math>\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}</math>
Erweitern und Kürzen
- <math>\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}</math> für <math>c \neq 0</math>
Addition
- <math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}</math>
Subtraktion
- <math>\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d} </math>
Multiplikation
- <math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} </math>
Division
- <math>\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}</math>
Prozentrechnung
- <math>p \, \% = \frac{p}{100}</math> (Prozentsatz = Prozentwert : Grundwert)
- <math>p\,{}^{0\!}\!/\!_{00}= \frac{p}{1{\,}000}</math> (Promillesatz = Promillewert : Grundwert)
Prozentsätze häufig benutzter Anteile
| Anteil am Grundwert | <math>\frac{1}{100}</math> | <math>\frac{1}{50}</math> | <math>\frac{1}{40}</math> | <math>\frac{1}{25}</math> | <math>\frac{1}{20}</math> | <math>\frac{1}{16}</math> | <math>\frac{1}{15}</math> | <math>\frac{1}{12}</math> | <math>\frac{1}{11}</math> | <math>\frac{1}{10}</math> | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Prozentsatz | 1 % | 2 % | 2,5 % | 4 % | 5 % | 6,25 % | ≈6,67 % | ≈8,33 % | ≈9,09 % | 10 % | |
| Anteil am Grundwert | <math>\frac{1}{9}</math> | <math>\frac{1}{8}</math> | <math>\frac{1}{7}</math> | <math>\frac{1}{6}</math> | <math>\frac{1}{5}</math> | <math>\frac{1}{4}</math> | <math>\frac{1}{3}</math> | <math>\frac{1}{2}</math> | <math>\frac{2}{3}</math> | <math>\frac{3}{4}</math> | |
| Prozentsatz | ≈11,11 % | 12,5 % | ≈14,29 % | ≈16,67 % | 20 % | 25 % | ≈33,33 % | 50 % | ≈66,67 % | 75 % | |
Elementare Rechenoperationen
Potenz
Natürlicher Exponent:
- <math>a^n = \underbraceVorlage:A\cdot a\dotsm a_{{n\ \mathrm{Faktoren}}}</math> (Potenz = Basis hoch Exponent)
Negativer Exponent:
- <math>a^{-n} = \frac 1 {a^n}</math>
Rationaler Exponent:
- <math>x = a^{m/n} \; \Leftrightarrow \; x^n = a^m</math>
Hierbei ist <math>a</math> eine nichtnegative rationale Zahl und <math>m,n</math> sind natürliche Zahlen.
Spezialfälle
- <math>a^0 = 1</math> für <math>a \neq 0</math>, siehe Null hoch null
- <math>0^n = 0</math> für <math>n \neq 0</math>
- <math>a^m \cdot a^n = a^{m+n}</math>
- <math>\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}</math>
- <math>({a^m})^n = a^{m \cdot n}</math>
- <math>a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n</math>
- <math>\frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^n</math>
Definition und Rechenregeln können auf reelle Zahlen erweitert werden.
Wurzel
- <math>x = \sqrt[n]{a} \; \Leftrightarrow \; x^n = a</math> (n-te Wurzel, a heißt Radikand, n Wurzelexponent)
- Hierbei ist <math>a</math> eine nichtnegative reelle Zahl und <math>n</math> eine natürliche Zahl größer als eins
Spezialfälle
- <math>\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}</math> (Quadratwurzel)
- <math>\sqrt[3]{a}</math> (Kubikwurzel)
- <math>\sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n}</math>
- <math>\sqrt[n]{a ^m} = ({\sqrt[n]{a}}) ^m = a^\frac{m}{n}</math>
- <math>\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}</math>
- <math>{{ \sqrt[n]{a}} \over {\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{a \over b}</math>
- <math> \sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}} = \sqrt[n \cdot m]{a}</math>
- <math> \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a} = \sqrt[n \cdot m]{a^{n+m}}</math>
- <math>\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a^{m-n}}</math>
Logarithmus
- <math>x = \log_b a \; \Leftrightarrow \; a = b^x</math> (Logarithmus der Zahl a zur Basis b)
- Hierbei sind <math>a,b</math> positive reelle Zahlen.
Spezialfälle
- <math>\log_2 a = \operatorname{lb} a</math> (binärer Logarithmus)
- <math>\log_e a = \ln a</math> (natürlicher Logarithmus)
- <math>\log_{10} a = \lg a</math> (dekadischer Logarithmus)
- <math>\log_b 1 = 0</math>
- <math>\log_b b = 1</math>
- <math>\log_b ( a \cdot c ) = \log_b a + \log_b c</math>
- <math>\log_b \left( \frac{a}{c} \right) = \log_b a - \log_b c</math>
- <math>\log_b \left( a^c \right) = c \cdot \log_b a</math>
- <math>\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}</math>
Elementare Funktionen
Betrag
- <math>|a| =
\begin{cases} \;\;\,a & \mathrm{f\ddot ur} \quad a>0 \\ \;\;\,0 & \mathrm{f\ddot ur} \quad a=0 \\
-a & \mathrm{f\ddot ur} \quad a<0 \\
\end{cases} </math>
Eigenschaften
- <math>| a | = 0 \; \Leftrightarrow \; a = 0</math>
- <math>| a \cdot b | = | a | \cdot | b |</math>
- <math>| a + b | \leq | a | + | b |</math> (Dreiecksungleichung)
Vorzeichen
- <math>\sgn(a) =
\begin{cases} \;\;\,1 & \mathrm{f\ddot ur} \quad a>0 \\ \;\;\,0 & \mathrm{f\ddot ur} \quad a=0 \\
-1 & \mathrm{f\ddot ur} \quad a<0 \\
\end{cases} </math>
Eigenschaften
- <math>\sgn(a) = \frac{a}{|a|}</math> für <math>a \neq 0</math>
- <math>\sgn | a | = | \sgn a |</math>
- <math>\sgn(a \cdot b) = \sgn (a) \cdot \sgn (b)</math>
Ab- und Aufrundung
- <math>\lfloor a \rfloor=\max \{k\in\Z \mid k\leq a\}</math> (Abrundung)
- <math>\lceil a \rceil=\min \{k\in\Z \mid k\ge a\}</math> (Aufrundung)
Eigenschaften
- <math>\bigl\lfloor \lfloor a \rfloor \bigr\rfloor = \bigl\lceil \lfloor a \rfloor \bigr\rceil = \lfloor a \rfloor</math>
- <math>\bigl\lceil \lceil a \rceil \bigr\rceil = \bigl\lfloor \lceil a \rceil \bigr\rfloor = \lceil a \rceil</math>
- <math>\lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor \le \lfloor a+b \rfloor \le \lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor + 1</math>
- <math>\lceil a \rceil + \lceil b \rceil \ge \lceil a+b \rceil \ge \lceil a \rceil + \lceil b \rceil - 1</math>
Gleichungen
Äquivalenzumformungen
- <math>a = b \; \Leftrightarrow \; b = a</math>
- <math>a = b \; \Leftrightarrow \; a+c = b+c</math>
- <math>a = b \; \Leftrightarrow \; a-c = b-c</math>
- <math>a = b \; \Leftrightarrow \; a \cdot c = b \cdot c</math> für <math>c \neq 0</math>
- <math>a = b \; \Leftrightarrow \; a : c = b : c</math> für <math>c \neq 0</math>
- <math>a = b \; \Leftrightarrow \; f(a) = f(b)</math> für jede injektive Funktion <math>f</math>
Lineare Gleichungen
- <math>a \cdot x = b</math>
Lösungen
- <math>x = \frac{b}{a}</math> falls <math>a \neq 0</math>
- keine Lösung falls <math>a = 0, b \neq 0</math>
- unendlich viele Lösungen falls <math>a = 0, b = 0</math>
Quadratische Gleichungen
- <math>a x^2 + b x + c = 0</math> mit <math>a \ne 0</math>
- <math>D = b^2 - 4ac</math>
Lösungen
- <math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> falls <math>D > 0</math>
- <math>x = -\frac{b}{2 a}</math> falls <math>D = 0</math>
- keine reelle Lösung falls <math>D < 0</math>
- <math>a x^2 + b x + c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right)</math>
p-q-Form
- <math>x^2 + p x + q = 0</math>
Diskriminante
- <math>D = \frac{p^2}{4} - q</math>
Lösungen
- <math>x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}</math> falls <math>D > 0</math>
- <math>x = -\frac{p}{2}</math> falls <math>D = 0</math>
- keine reelle Lösung falls <math>D < 0</math>
- <math>p = -(x_1 + x_2)</math>
- <math>q = x_1 \cdot x_2</math>
Algebraische Gleichungen
- <math>a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \dotsb + a_2x^2 + a_1x^1 + a_0 = 0</math>
Lösungen
- <math>x_1, \ldots , x_n</math> als komplexe Lösungen, nicht notwendigerweise verschieden (Fundamentalsatz der Algebra)
Zerlegung in Linearfaktoren
- <math>a_n(x - x_1)(x - x_2) \dotsm (x - x_n) = 0</math>
- <math>p(x) = s(x)q(x) + r(x)</math> wobei <math>\operatorname{grad} p \ge \operatorname{grad} q</math>
- <math>\frac{p(x)}{q(x)} = s(x) + \frac{r(x)}{q(x)}</math> wobei <math>\operatorname{grad} q \ge 0</math>
Ungleichungen
Äquivalenzumformungen
- <math>a < b \; \Leftrightarrow \; b > a</math>
- <math>a < b \; \Leftrightarrow \; a+c < b+c</math>
- <math>a < b \; \Leftrightarrow \; a-c < b-c</math>
- <math>a < b \; \Leftrightarrow \; \begin{cases} a \cdot c < b \cdot c, & \text{falls} ~ c > 0 \\ a \cdot c > b \cdot c, & \text{falls} ~ c < 0 \end{cases}</math>
- <math>a < b \; \Leftrightarrow \; \begin{cases} a : c < b : c, & \text{falls} ~ c > 0 \\ a : c > b : c, & \text{falls} ~ c < 0 \end{cases}</math>
- <math>a < b \; \Leftrightarrow \; \begin{cases} f(a) < f(b), & \text{falls} ~ f ~ \text{streng monoton steigend ist} \\ f(a) > f(b), & \text{falls} ~ f ~ \text{streng monoton fallend ist}\end{cases}</math>
- Die Umformungsregeln gelten analog auch für <math>\le, \ge</math>.
Spezielle Ungleichungen
- <math>|a + b| \le |a| + |b|</math> für alle <math>a,b</math>
- <math>(1 + a)^n \geq 1 + a \cdot n</math> für <math>a \geq -1</math> und <math>n = 0, 1, 2, \ldots</math>
- <math>a \cdot b \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}</math> für <math>a,b \geq 0</math> und <math>p,q > 1</math> mit <math>\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q} = 1</math>
Ungleichungen bei Mittelwerten
Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel
- <math>\sqrt[n]{a_1 \cdot \ldots \cdot a_n} \leq \frac{1}{n} ( a_1 + \ldots + a_n )</math> für <math>a_1, \ldots, a_n \geq 0</math> und <math>n = 2, 3, \ldots</math>
Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel
- <math>\frac{n}{\frac{1}{a_1} + \ldots + \frac{1}{a_n}} \leq \sqrt[n]{a_1 \cdot \ldots \cdot a_n}</math> für <math>a_1, \ldots, a_n > 0</math> und <math>n = 2, 3, \ldots</math>
Komplexe Zahlen
Algebraische Form
Darstellung
- <math>z=a+b\cdot \mathrm{i}</math> mit Realteil <math>a</math>, Imaginärteil <math>b</math> und der imaginären Einheit <math>\mathrm{i}</math>
- <math>\bar z=a-b\cdot \mathrm{i}</math> (Komplexe Konjugation)
Potenzen der imaginären Einheit
- <math>\mathrm{i}^0 = 1</math>
- <math>\mathrm{i}^1 = \mathrm{i}</math>
- <math>\mathrm{i}^2 = -1</math>
- <math>\mathrm{i}^3 = - \mathrm{i}</math>
Allgemein für <math>n \in \mathbb{Z}</math>:
- <math>\mathrm{i}^{4n} = 1</math>
- <math>\mathrm{i}^{4n+1} = \mathrm{i}</math>
- <math>\mathrm{i}^{4n+2} = -1</math>
- <math>\mathrm{i}^{4n+3} = - \mathrm{i}</math>
Arithmetische Operationen
- <math>(a + \mathrm ib) + (c + \mathrm id) = (a + c) + \mathrm i(b + d)</math>
- <math>(a + \mathrm ib) - (c + \mathrm id) = (a - c) + \mathrm i(b - d)</math>
- <math>(a + \mathrm ib)\cdot(c + \mathrm id) = ac - bd + \mathrm i(ad + bc)</math>
- <math>(a + \mathrm ib):(c + \mathrm id) = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \mathrm i\,\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}</math> für <math>c^2+d^2 \neq 0</math>
Polarform
Darstellung
- <math>z=r \cdot (\cos (\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi))</math> mit dem Betrag <math>r</math> und dem Argument <math>\varphi</math>
Betrag
- <math>r = |z| = \sqrt{z \cdot \bar z} = \sqrt{a^2 + b^2}</math>
Argument
- <math>\varphi = \begin{cases}\arctan\frac{b}{a}&\mathrm{f\ddot ur}\ a>0\\
\arctan\frac ba+\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ a<0,b\geq0\\ \arctan\frac ba-\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ a<0,b<0\\ \pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ a=0,b>0\\ -\pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ a=0,b<0 \end{cases}</math>
- oder
- <math>\varphi =\begin{cases}\arccos\frac ar&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq0\\
\arccos\left(-\frac ar\right)-\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ b<0 \end{cases} </math>
Exponentialform
Darstellung
- <math>z=r \cdot e^{\mathrm{i}\varphi}</math> mit der eulerschen Zahl <math>e</math>
- <math>e^{\mathrm{i}\varphi} = \cos \varphi + \mathrm{i}\,\sin \varphi</math> (Eulersche Formel)
Umrechnungsformeln
- <math>\sin \varphi = \frac{e^{\mathrm{i}\varphi} - e^{-\mathrm{i}\varphi}}{2\mathrm{i}}</math>
- <math>\cos \varphi = \frac{e^{\mathrm{i}\varphi} + e^{-\mathrm{i}\varphi}}{2}</math>
Arithmetische Operationen
- <math>(r \cdot e^{\mathrm{i}\varphi}) \pm (s \cdot e^{\mathrm{i}\psi}) = \sqrt{r^2 + s^2 \pm 2 r s \cos (\varphi - \psi)} \cdot e^{ \mathrm{i} \operatorname{atan2}\left( r \sin \varphi \pm s \sin \psi, r \cos \varphi \pm s \cos \psi \right)}</math>
- <math>(r \cdot e^{\mathrm{i}\varphi}) \cdot (s \cdot e^{\mathrm{i}\psi}) = (r \cdot s) \cdot e^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math>
- <math>(r \cdot e^{\mathrm{i}\varphi}) : (s \cdot e^{\mathrm{i}\psi}) = (r : s) \cdot e^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math>
Potenzen
- <math>(r \cdot e^{\mathrm{i}\varphi})^n = r^n \cdot e^{\mathrm i n\varphi}</math>
Wurzeln
- <math>x^n = 1 \, \Leftrightarrow \, x = e^{2\pi\mathrm i k/n}</math> für <math>k=0,1,\dots,n-1</math> (Einheitswurzeln)
- <math>x^n = z \, \Leftrightarrow \, x = \sqrt[n]{|z|} \cdot e^{(\mathrm i\arg(z) + 2\pi\mathrm i k)/n}</math> für <math>k=0,1,\dots,n-1</math>
Summenformeln
Rechenregeln
- <math>\sum_{i=1}^{n}c = n \cdot c </math>
- <math>\sum_{i=m}^{n}c = (n-m+1) \cdot c </math>
- <math>\sum_{i=m}^{n}c \cdot a_i = c \cdot \sum_{i=m}^{n}a_i </math>
- <math>\sum_{i=m}^{n}(a_i + b_i) = \sum_{i=m}^{n}a_i + \sum_{i=m}^{n}b_i </math>
- <math>\sum_{i=m}^{n} a_i = \sum_{i=m-r}^{n-r} a_{i+r}</math>
- <math>\sum_{i=1}^{n}(a_i - a_{i-1}) = a_n - a_0</math> (Teleskopsumme)
Arithmetische Reihe
- <math>\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math> (Gaußsche Summenformel)
Geometrische Reihe
- <math>\sum_{i=0}^{n-1} k^i = \frac{1-k^n}{1-k}</math>
Eine Version, die für alle Halbringe geeignet ist:
- <math>\begin{pmatrix} 1&0 \\ \sum_{i=0}^{n-1}k^i & k^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\1&k\end{pmatrix}^n</math>
Potenzsummen
- <math>\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math>
- <math>\sum_{i=1}^n i^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}</math>
- Für weitere Potenzsummen siehe Faulhabersche Formel.
Kombinatorische Summen
- <math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{n-k}b^{k}</math>
- <math>\left(\sum_{i=1}^k a_i\right)^n = \sum_{n_1+\ldots+n_k=n}{n\choose n_1,\ldots,n_k}\,\cdot\, a_1^{n_1}\cdot a_2^{n_2}\cdots a_k^{n_k}</math>
Ungleichungen bei Summen
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
- <math>\left(\sum_{i=1}^n a_i \cdot b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)</math> für alle <math>a_1, \ldots, a_n</math> und <math>b_1, \ldots, b_n</math>
- <math>n \cdot \left(\sum_{i=1}^n a_i \cdot b_i\right) \geq \left(\sum_{i=1}^n a_i\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n b_i\right)</math> für alle <math>a_1 \geq \ldots \geq a_n</math> und <math>b_1 \geq \ldots \geq b_n</math>
- <math>n \cdot \left(\sum_{i=1}^n a_i \cdot b_i\right) \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n b_i\right)</math> für alle <math>a_1 \geq \ldots \geq a_n</math> und <math>b_1 \leq \ldots \leq b_n</math>
- <math>\left(\sum_{i=1}^n | a_i + b_i |^p\right)^{1/p} \leq \left(\sum_{i=1}^n |a_i|^p\right)^{1/p} + \left(\sum_{i=1}^n |b_i|^p\right)^{1/p}</math> für alle <math>a_1, \ldots, a_n</math> und <math>b_1, \ldots, b_n</math> sowie <math>p \geq 1</math>
- <math>\sum_{i=1}^n | a_i \cdot b_i | \leq \left(\sum_{i=1}^n |a_i|^p\right)^{1/p} \cdot \left(\sum_{i=1}^n |b_i|^q\right)^{1/q}</math> für alle <math>a_1, \ldots, a_n</math> und <math>b_1, \ldots, b_n</math> sowie <math>p,q \geq 1</math> mit <math>\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q} = 1</math>
- <math>f\left(\sum_{i=1}^n a_i \cdot b_i\right) \leq \sum_{i=1}^n a_i \cdot f(b_i)</math> für jede konvexe Funktion <math>f</math>, <math>a_1, \ldots , a_n \geq 0</math> mit <math>a_1 + \ldots + a_n = 1</math> und alle <math>b_1, \ldots, b_n</math>
Literatur
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