Zum Inhalt springen

Bernoullische Ungleichung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Datei:Bernoulli inequality.svg
Eine Veranschaulichung der Bernoulli-Ungleichung. Hier die beiden Funktionen <math>f(x) = (1+x)^n</math> (roter Graph) und <math>g(x)=1+n\cdot x</math> (blauer Graph) mit dem konkreten Wert <math>n=3</math>. Der rote Graph liegt für <math>x \ge -1</math> stets oberhalb des blauen Graphen.

In der Mathematik versteht man unter der bernoullischen Ungleichung eine einfache, aber wichtige Ungleichung, mit der sich eine Potenzfunktion nach unten abschätzen lässt. Sie besagt:

Für jede reelle Zahl <math>x \geq -1</math><ref>Die Ungleichung gilt sogar für <math>x \geq -2</math> und ungerade <math>n \geq 3</math>, allerdings lässt sich dies nicht mehr so direkt mit vollständiger Induktion, sondern z. B. durch Vergleich der Ableitungen zeigen. Dazu zeigt man, dass <math>f(x) := (1+x)^n - (1+nx)</math> für <math> -2 < x < -1</math> negative Ableitung und damit keine Extrema hat, während der Wert für <math> x = -2</math> und <math> x = -1</math> positiv ist. In diesem Fall hat <math>f</math> ein lokales Maximum in <math> x = -2</math>. Für gerades <math>n \geq 2</math> gilt die Ungleichung sogar für alle reellen <math>x</math>, da hier für <math>x < -1</math> die linke Seite der Ungleichung stets positiv bleibt, während die rechte sicher negativ ist.</ref> und jede ganze Zahl <math>n \geq 0</math> gilt

<math>(1+x)^n \geq 1+nx</math>.<ref name="Vr">Für den Fall <math>x=-1</math> und <math>n=0</math> muss <math>0^0=1</math> vereinbart werden.</ref>

Benannt ist die Ungleichung nach dem Schweizer Mathematiker Jakob I Bernoulli.<ref name="Harro">Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1. B. G. Teubner Stuttgart, 1984, ISBN 3-519-22221-3, S. 61, Kapitel 7.9 und S. 68, Aufgabe 7.17</ref>

Geschichte

Jakob Bernoulli veröffentlichte diese Ungleichung zuerst in seiner Arbeit Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis (Basel, 1689), in der er diese Ungleichung häufig anwandte.<ref name="HSM">History of Science and Mathematics.</ref>

Laut Joseph E. Hofmann geht die Ungleichung aber auf den Mathematiker René de Sluze zurück, der sie 1668 in seiner Arbeit Mesolabum veröffentlicht haben soll.<ref>Über die Exercitatio Geometrica des M. A. Ricci. (1963), Seite 177.</ref><ref name="HSM" />

Beweis

Beweis über vollständige Induktion

Die bernoullische Ungleichung lässt sich mit vollständiger Induktion beweisen.<ref>http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung39/</ref> Der Induktionsanfang <math>n=0</math> ist erfüllt:

<math> (1+x)^0 = 1 \geq 1 = 1 + 0x</math>.<ref name="Vr" />

Als Induktionsvoraussetzung gelte nun <math>(1+x)^n \geq 1+nx</math> für <math> n \in \mathbb{N}_0</math>, <math>x \in \mathbb{R}</math> und <math>x \geq -1</math>. Dann folgt wegen <math>1+x\ge 0</math> und der Induktionsvoraussetzung

<math>\begin{array}{lcl}

(1+x)^{n+1}&=&(1+x)^n \cdot (1+x)\\ &\stackrel{\mathrm{I.\,V.}}\geq&(1+nx)\cdot(1+x)\\ &=&1 + x + nx + nx^2\\ &\geq&1 + x + nx\\ &=&1 + (n+1)x.\\\end{array}</math>

Nach dem Induktionsprinzip gilt die Behauptung für alle <math>n \in \mathbb{N}_0</math>.

Alternativer Beweis für nicht-negative x

Für <math>x\ge 0</math> kann die Bernoulli-Ungleichung auch über den binomischen Lehrsatz bewiesen werden. Es gilt hier

<math>\begin{align}

(1+x)^n & = \sum_{k=0}^n \binom nk x^k \\ & = 1 + n\cdot x + \underbrace{\frac{n(n-1)}2 x^2 + \ldots}_{\ge\ 0 \text{ wegen } x\ge 0} \\ & \ge 1 + n\cdot x \end{align}</math>

Verwandte Ungleichungen

Strikte Ungleichung

Ebenfalls als bernoullische Ungleichung wird folgende Ungleichung bezeichnet, die ein „strikt größer“ statt eines „größer gleich“ verwendet:

Für alle reellen Zahlen <math> x > -1</math>, <math>x\neq 0</math> und alle natürlichen Zahlen <math>n\geq 2</math> gilt

<math>(1+x)^n > 1+nx</math>.

Der Beweis lässt sich ebenfalls mit Induktion nach dem gleichen Muster wie der Beweis für die Formulierung mit „größer gleich“ durchführen.<ref name="Harro" />

Reelle Exponenten

Für reelle Exponenten lassen sich folgende Verallgemeinerungen durch Vergleich der Ableitungen zeigen: Für alle <math>x > -1</math> gilt

<math>(1+x)^r\geq 1+rx</math>,

wenn <math>r \geq 1</math> oder <math>r \leq 0</math>, und

<math>(1+x)^r\leq 1+rx</math>,

wenn <math>0 \leq r \leq 1</math>.

Variable Faktoren

Betrachtet man keine Potenz, sondern ein Produkt unterschiedlicher Faktoren, so lässt sich folgende Verallgemeinerung mittels vollständiger Induktion zeigen:

<math>\prod_{i=1}^n(1+x_i)> 1+\sum_{i=1}^n x_i</math>,

falls <math>-1<x_i<0</math> für alle <math>i</math> oder falls <math>x_i>0</math> für alle <math>i</math> und <math>n \geq 2</math>.<ref name="Harro" />

Setzt man dabei <math>u_i:=-x_i\;</math> und betrachtet den Spezialfall <math>-1\leq x_i\leq 0</math>, also <math>0\leq u_i\leq 1</math>, so erhält man die sogenannte Weierstraß-Produkt-Ungleichung<ref>Adam Kertesz und Eric Weisstein: Weierstrass Product Inequality. In: MathWorld (englisch). </ref><ref>http://www.cut-the-knot.org/Generalization/wineq.shtml</ref>

<math>\prod_{i=1}^n (1-u_i)\geq 1-\sum_{i=1}^n u_i.</math>

Anwendungen

Grenzwertberechnung

Behauptung:

<math>\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = 1</math>

für alle reellen <math>a\geq 1</math>.

Beweis: Zunächst sei <math>x_n\geq 0</math> definiert durch

<math>\sqrt[n]{a} = 1 + x_n</math>.

Dann gilt nach der Bernoulli-Ungleichung

<math>a = (1 + x_n)^n \geq 1 + nx_n</math>,

also

<math>\frac{a - 1}{n} \geq x_n \geq 0</math>.

Es ist aber

<math>\lim_{n \to \infty}\frac{a - 1}{n} = 0</math>.

Damit ist dann auch

<math> \lim_{n\to\infty}x_n = 0</math>

und letztlich

<math>\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = 1 + \lim_{n\to\infty}x_n = 1 + 0 = 1.</math>

Exponentialfunktion

Die bernoullische Ungleichung ist bei vielen Abschätzungen hilfreich. Es sei <math>x \in \mathbb{R}</math> fix, dann ist <math>\frac{x}{n} \geq -1</math> für hinreichend großes <math>n</math>. Mit der bernoullischen Ungleichung gilt daher

<math>\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \geq 1 + n\cdot \frac{x}{n} = 1 + x</math> für hinreichend großes <math>n</math>.

Wegen

<math>e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n</math>

ist somit die Ungleichung

<math>1+x\le e^x</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math>

bewiesen.

Beweis von Ungleichungen mit Potenzen

Um die Konvergenz <math>\lim_{n\rightarrow\infty} q^n = 0</math> für reelle Zahlen <math>q</math> mit <math>0 < q < 1</math> zu beweisen, muss unter anderem ein <math>N\in\N</math> gefunden werden, so dass <math>q^N < \epsilon</math> für ein beliebig vorgegebenes <math>\epsilon > 0</math> ist. Hierfür kann die Bernoulli-Ungleichung verwendet werden. Zunächst formt man die Zielungleichung <math>q^N < \epsilon</math> durch Äquivalenzumformungen um:

<math>\begin{array}{lrl}

& q^N & < \epsilon \\ \iff\ & \left(\tfrac 1q\right)^N & > \tfrac 1\epsilon \end{array}</math>

Wegen <math>0 < q < 1</math> ist <math>1/q > 1</math>. Setzen wir <math>1+x=1/q</math> so ist <math>x > 0</math> und außerdem nach der Bernoulli-Ungleichung

<math>\left(\tfrac 1q\right)^N = (1+x)^N \ge 1+N\cdot x</math>

Alternativ kann also auch ein <math>N\in\N</math> gefunden werden, so dass <math>1+N\cdot x > 1/ \epsilon</math> ist. Ist nämlich <math>1+N\cdot x > 1/\epsilon</math> dann folgt aus obiger Ungleichung <math>\left(\tfrac 1q\right)^N \ge 1+N\cdot x</math>, dass automatisch auch <math>\left(\tfrac 1q\right)^N > \tfrac 1\epsilon</math> ist. Die Existenz von <math>N</math> ist durch das archimedische Axiom gewährleistet.

Der Vorteil der obigen Vorgehensweise ist der, dass hier im Beweis nicht auf den Logarithmus zurückgegriffen werden muss, welcher am Anfang einer Analysis-Vorlesung in der Regel noch nicht zur Verfügung steht.

Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

Unter Verwendung einer Abschätzung mit der bernoullischen Ungleichung lässt sich die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel über vollständige Induktion beweisen. Es ist sogar so, dass die Bernoulli-Ungleichung äquivalent zur Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist.<ref>Yuan-Chuan Li, Cheh-Chih Yeh: Some Equivalent Forms of Bernoulli’s Inequality: A Survey. In: Applied Mathematics. 04, 2013, S. 1070, doi:10.4236/am.2013.47146.</ref>

Literatur

Weblinks

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Bernoulli-Ungleichung – Lern- und Lehrmaterialien
Commons: Bernoullische Ungleichung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Quellen und Bemerkungen

<references />

Abgerufen von „https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Bernoullische_Ungleichung&oldid=171291“