Formelsammlung Analysis

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Folgen und Reihen

Arithmetische und geometrische Folgen

Arithmetische Folge: <math>a_{n+1}-a_n=d \quad \mathrm{f\ddot ur\; alle\;} n</math>; <math>a_n=\tfrac12(a_{n-1}+a_{n+1})</math>; <math>\,a_n=a_1+(n-1)d</math>
Geometrische Folge: <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=q \quad \mathrm{f\ddot ur\;alle\;}n, q\in\R\setminus\{0\}</math>; <math>a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}</math>; <math>a_n=a_1\cdot q^{n-1}</math>

Grenzwerte: Definition (Folgen)

Die Folge <math>(a_n)</math> heißt Nullfolge, wenn es zu jedem <math>\epsilon>0</math> eine Nummer <math>n_0</math> gibt, sodass für alle Folgeglieder mit höherer Nummer, also <math>n>n_0</math> gilt:

Eine Folge <math>(a_n)</math> hat den Grenzwert a, wenn die Folge <math>(a_n-a)</math> den Grenzwert 0 hat.
Folgen ohne Grenzwert heißen divergent.
Eine Folge heißt beschränkt, wenn es eine Zahl <math>K>0</math> gibt, sodass <math>|f_n|<K</math> für alle <math>n\in\N</math> gilt.

Grenzwertsätze (Folgen)

Hat die Folge <math>(a_n)</math> den Grenzwert a, die Folge <math>(b_n)</math> den Grenzwert b, so gilt:

<math>\lim_{n\to\infty} (a_n\pm b_n)=a\pm b</math>
<math>\lim_{n\to\infty} (a_n\cdot b_n)=a\cdot b</math>
<math>\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac ab \qquad b\not= 0</math>

Funktionen (formale Eigenschaften)

Grenzwerte von Funktionen

[Definition, Eigenschaften, Grenzwertsätze analog]

Regel von de L’Hospital

Sei <math>f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}.</math>

Voraussetzungen:

Es gibt eine Stelle <math>a</math>, sodass <math>u(a)</math> und <math>v(a)</math> entweder Null sind oder bestimmt divergieren
<math>u</math> und <math>v</math> sind in einer Umgebung von <math>a</math> differenzierbar
Der Grenzwert <math>\lim_{x\to a}\frac{u'(x)}{v'(x)}</math> existiert.

Dann gilt:

Einseitige Grenzwerte

Die Funktion <math>f \colon X\to\R\;</math> hat für <math>x \to p+</math> den Limes <math>L\;</math>, wenn es zu jedem (noch so kleinen) <math>\varepsilon > 0\;</math> ein <math>\delta > 0\;</math> gibt, sodass für alle <math>x\;</math>-Werte aus dem Definitionsbereich <math>X\;</math> von <math>f\;</math>, die der Bedingung <math>0<x - p < \delta\;</math> genügen, auch <math>|f(x) - L| < \varepsilon\;</math> gilt.

In diesem Falle nennt man den Grenzwert <math>\lim_{x \to p+} f(x) := L</math> konvergent.

Stetigkeit

Eine Funktion <math>f</math> heißt an einer Stelle <math>x_0</math> stetig, wenn der Grenzwert von <math>f</math> für <math>x</math> gegen <math>x_0</math> existiert und mit dem Funktionswert <math>f(x_0)</math> übereinstimmt

Epsilon-Delta-Kriterium:<math> f\colon D \to \R</math> ist stetig in <math>x_0 \in D</math>, wenn
zu jedem <math>\varepsilon>0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert, so dass für alle <math>x \in D</math> mit <math>|x - x_0| < \delta</math> gilt: <math>|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon </math>.
Folgenkriterium: <math> f\colon D\to \R</math> ist stetig in <math>x_0 \in D</math>, wenn für jede Folge <math>(x_k)_{k\in\N}</math> mit Elementen <math>x_k\in D</math>, die gegen <math>x_0</math> konvergiert, auch <math>f(x_k)</math> gegen <math>f(x_0)</math> konvergiert.

Grundlegendes

Zwischenwertsatz: Eine im Intervall <math>[a,b]</math> (<math>a<b</math>) stetige Funktion <math>f</math> nimmt jeden Funktionswert zwischen <math>f(a)</math> und <math>f(b)</math> mindestens einmal an.

Spezialfall: Nullstellensatz

Eine in <math>I</math> stetige Funktion, bei der <math>f(a)</math> und <math>f(b)</math> verschiedene Vorzeichen haben, hat dort mindestens eine Nullstelle.

Extremwertsatz

Eine in einem Intervall stetige Funktion hat dort stets einen größten und einen kleinsten Funktionswert.

Mittelwertsatz

Es sei <math>f: [a,b] \to \mathbb{R}</math> auf dem abgeschlossenen Intervall <math>[a,b]</math> (<math>a<b</math>) stetig und differenzierbar. Dann gibt es mindestens ein <math>x_0 \in (a,b)</math>, so dass

<math>f'\left(x_0\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}</math>

gilt.

Differentialrechnung

Differenzierbarkeit: Definitionen

Eine Funktion <math>f</math> ist genau dann differenzierbar an einer Stelle <math>x_0</math> ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert

<math>\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>

existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math>.

Geometrisches: Tangenten

Tangentengleichung zu <math>f</math> im Punkt <math>P(x_0|f(x_0))</math>: <math>y=f'(x_0)\!\,(x-x_0)+f(x_0)</math>
Normale (Senkrechte): <math>y=\frac{-1}{f'(x_0)}(x-x_0)+f(x_0)</math>

Ableitungsregeln

Konstante Funktion: <math>\left(a\right)' = 0</math>
Faktorregel: <math>(a\cdot f)' = a\cdot f'</math>
Summenregel: <math>\left(g \pm h\right)' = g' \pm h'</math>
Produktregel: <math>(g\cdot h)' = g' \cdot h + g \cdot h'</math>
Quotientenregel: <math>\left(\frac{g}{h}\right)' = \frac{g' \cdot h - g \cdot h'}{h^2}</math>
Potenzregel: <math>\left(x^n\right)' = n x^{n-1} </math>
Kettenregel: <math>(g \circ h)'(x) = (g(h(x)))' = g'(h(x))\cdot h'(x)</math>
Ableitung der Potenzfunktion <math>f(x)=g(x)^{h(x)}</math>: <math>f'(x) = \left(h'(x)\ln(g(x)) + h(x) \frac{g'(x)}{g(x)}\right) g(x)^{h(x)}</math>.
Leibnizsche Regel: Die Ableitung <math> n </math>-ter Ordnung für ein Produkt aus zwei <math>n</math>-fach differenzierbaren Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> ergibt sich aus; <math>(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}</math>.; Die hier auftretenden Ausdrücke der Form <math>\tbinom nk</math> sind Binomialkoeffizienten.
Formel von Faà di Bruno: Diese Formel ermöglicht die geschlossene Darstellung der <math>n</math>-ten Ableitung der Komposition zweier <math>n</math>-fach differenzierbarer Funktionen. Sie verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen.

Ableitungen wichtiger Funktionen

siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Geometrische Anwendungen: Eigenschaften von Kurven (Kurvendiskussion)

Betrachtet wird <math>f\colon x \mapsto f(x)</math>

Untersuchungsaspekt	Kriterium
Nullstelle	<math>f(x_N) = 0 \,</math>
Extremwert	<math>f'(x_E) = 0 \quad\text{und}\quad f(x_E) \ne 0</math>
Minimum	<math>f'(x_E) = 0 \quad\text{und}\quad f(x_E) > 0</math>
Maximum	<math>f'(x_E) = 0 \quad\text{und}\quad f(x_E) < 0</math>
Wendepunkt	<math>f(x_W) = 0 \quad\text{und}\quad f'(x_W) \ne 0</math>
Sattelpunkt	<math>f'(x_W) = 0 \quad\text{und}\quad f(x_W) = 0 \quad\text{und}\quad f'(x_W) \ne 0</math>
Verhalten im Unendlichen	<math>\lim_{x \to \infty} f(x) \quad \text{und} \quad \lim_{x \to - \infty} f(x)</math>
Symmetrie
Achsensymmetrie zur Koordinatenachse („gerade“)	<math>f(x)=f(-x) \,</math>
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung („ungerade“)	<math>-f(x)=f(-x) \,</math>
Monotonie
monoton steigend bzw. streng monoton steigend	<math>f'(x) \ge 0 \quad \text{bzw.} \quad f'(x) > 0 \,</math>
monoton fallend bzw. streng monoton fallend	<math>f'(x) \le 0 \quad\text{und}\quad f'(x) < 0 </math>
Krümmung
Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen)	<math>f(x) \ge 0 \,</math>
Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen)	<math>f(x) \le 0 \,</math>
Periodizität	<math>f(x+p) = f(x) \,</math>

Gebrochenrationale Funktionen

Funktionsterm:

<math>f(x)=\frac{a_z x^z + a_{z-1} x^{z-1} + \cdots + a_1x + a_0}{b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \cdots + b_1x + b_0} = \frac{P_z(x)}{Q_n(x)}</math>

Einteilung
- Ist das Nennerpolynom <math>Q_n</math> vom Grad 0 (also n = 0 und b₀ ≠ 0) und ist <math>P_z</math> nicht das Nullpolynom, so spricht man von einer ganzrationalen oder einer Polynomfunktion.
- Ist n > 0 , so handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion.
- Ist n > 0 und z < n, so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.
- Ist n > 0 und z ≥ n, so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Sie kann mittels Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden.
Definitionsbereich
- <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \lbrace x_0 \mid Q_n(x_0) = 0 \rbrace</math>
Asymptotisches Verhalten: Für <math>x\to\infty</math> strebt <math>f(x)</math>
- [falls <math>z>n</math>] gegen <math>\sgn(a_z)\cdot\sgn(b_n)\cdot\infty</math>, wobei sgn die Vorzeichenfunktion bezeichnet.
- [falls <math>z=n</math>] gegen <math>\tfrac{a_z}{b_n}</math>
- [falls <math>z<n</math>] gegen 0 (die x-Achse)
Symmetrie
- Sind <math>P_z</math> und <math>Q_n</math> beide gerade oder beide ungerade, so ist <math>f</math> gerade (symmetrisch zur y-Achse).
- Ist <math>P_z</math> gerade und <math>Q_n</math> ungerade, so ist <math>f</math> ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung); Gleiches gilt, wenn <math>P_z</math> ungerade und <math>Q_n</math> gerade ist.
Polstellen: <math>x_p</math> heißt Polstelle von <math>f</math>, wenn
- <math>Q_n(x_p) = 0 \quad\text{und}\quad P_z(x_p) \ne 0.</math>
Asymptoten: Mittels Polynomdivision von <math>p</math> durch <math>q</math> erhält man <math>p = g\cdot q + r</math> mit Polynomen <math>g</math> und <math>r</math>, wobei der Grad von <math>r</math> kleiner als der von <math>q</math> ist. Das asymptotische Verhalten von <math>f=\tfrac pq=g+\tfrac rq</math> ist damit durch die ganzrationale Funktion <math>g</math> bestimmt:
- <math>[z < n]\,</math> x-Achse ist Asymptote: <math>g(x) = 0</math>
- <math>[z = n]\,</math> waagerechte Asymptote: <math>g(x) = \frac{a_z}{b_n}</math>
- <math>[z = n + 1]\,</math> schräge Asymptote: <math>g(x) = mx + c \,; m \ne 0</math>
- <math>[z > n + 1]\,</math> ganzrationale Näherungsfunktion

Integralrechnung

Flächenberechnung

Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f(x) im Intervall von a bis b ist

<math>\int_a^bf(x)\mathrm dx,\qquad \text{falls }f(x)\ge0\forall x\in[a,b]</math>
<math>-\int_a^bf(x)\mathrm dx,\qquad \text{falls }f(x)\le0\forall x\in[a,b]</math>
Andernfalls ist das Intervall durch Bestimmung der Nullstellen in solche Teilintervalle zu zerlegen.

Eigenschaften des bestimmten Integrals

<math>\int_a^b f(x)\mathrm dx=-\int_b^a f(x)\mathrm dx</math>

<math>\int_a^af(x)\mathrm dx=0</math>

<math>\int_a^cf(x)\mathrm dx=\int_a^bf(x)\mathrm dx+\int_b^cf(x)\mathrm dx,\qquad a<b<c</math>

<math>\int_a^b k\cdot f(x)\mathrm dx=k\cdot\int_a^bf(x)\mathrm dx</math>

<math>\int_a^b(f(x)+g(x))\,\mathrm dx=\int_a^bf(x)\mathrm dx+\int_a^bg(x)\mathrm dx</math>

Integralfunktion und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Integralfunktion

<math>F_a(x)=\int\limits_a^xf(t)\mathrm dt</math>

Hauptsatz der Infinitesimalrechnung

Stammfunktion

Jede Funktion <math>F</math> heißt Stammfunktion von <math>f</math>, wenn für alle x des Definitionsbereichs gilt

Dies bezeichnet der Ausdruck <math>\int f(x)\mathrm dx</math>

Integration

Ist F irgendeine Stammfunktion von f, so gilt

<math>\int_a^bf(x)\mathrm dx=F(b)-F(a)</math>

Spezielle Stammfunktionen

Die Stammfunktionen von <math>f(x)=x^n</math> sind

<math>F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c,\qquad n\not= -1</math>

Alles Weitere siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Integrationsmethoden

Produkt-, Teil- oder partielle Integration

unbestimmt
<math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)\mathrm dx</math>

<math>\int f(x)\cdot g(x)\mathrm dx=f(x)\cdot G(x)-\int f'(x)\cdot G(x)\mathrm dx</math>
bestimmt
<math>\int_a^bf(x)\cdot g'(x)\mathrm dx=[f(x)\cdot g(x)]_a^b-\int_a^bf'(x)\cdot g(x)\mathrm dx</math>

Integration durch Substitution

unbestimmt
<math>\int f(x)\mathrm dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm dt</math>
bestimmt
<math>\int_a^bf(\varphi(t))\cdot\varphi'(t)\mathrm dt=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\mathrm dx</math>
Spezialfall: lineare Substitution
<math>\int f(mx+n)\mathrm dx=\frac1mF(mx+n)+C,\qquad m\neq0</math>

<math>\int_a^bf(mx+n)\mathrm dx=\frac1m\lbrack F(mx+n)\rbrack_a^b, \qquad m\neq0</math>
Spezialfall: logarithmische Integration
<math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx=\ln|f(x)|+C,\qquad f(x)\neq0</math>

Angewandtes

Volumenbestimmung

Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a,b]
<math>\pi\cdot\int_a^bf^2(x)\mathrm dx</math>
Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen der umkehrbaren Funktion f und der y-Achse im Intervall [a,b]
<math>\pi\cdot\int_{f(a)}^{f(b)}(f^{-1}(y))^2\mathrm dy</math>
Volumen des Körpers, der bei y-Rotation der Fläche, welche durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], der x-Achse und den beiden Geraden <math>x=a</math> und <math>x=b</math> begrenzt wird, entsteht
<math>2\pi\cdot\int_a^b(x\cdot f(x))\mathrm dx</math>

Guldinsche Regeln

<math>M</math> Oberflächeninhalt; <math>V</math> Volumen; <math>L</math> Länge der erzeugenden Linie (Profillinie); <math>A</math> Flächeninhalt der erzeugenden Fläche; <math>R</math> Radius des Schwerpunktkreises
Erste Regel: <math>M = L \cdot 2 \pi R</math>

Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion f(x) der erzeugenden Linie ergibt sich dies als:

bei Rotation um die x-Achse
<math>M = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\mathrm{d}x.</math>
bei Rotation um die y-Achse
<math>M = 2\pi\int_{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))} f^{-1}(y)\sqrt{1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^2}\mathrm{d}y.</math>

Zweite Regel

Im Fall der Rotation um die x-Achse einer Fläche zwischen <math>f(x)</math>, der x-Achse und den Grenzen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> ergibt sich das Volumen ausgedrückt durch <math>f(x)</math> mit <math>R</math> als Flächenschwerpunkt zu

<math>V = A \cdot 2 \pi \tfrac{1}{A}\int_Ay\mathrm{d}A = \pi \cdot \int_a^b (f(x))^2 \mathrm{d}x</math>

mit <math>y = \tfrac{f(x)}{2}</math> und <math>\mathrm{d}A=f(x)\mathrm{d}x.</math>

Weiteres

Ist f auf [a,b] stetig, so heißt <math>\bar m</math> der Mittelwert der Funktionswerte von f auf <math>[a,b]</math>
<math>\bar m=\frac1{b-a}\cdot\int_a^bf(x)\mathrm dx</math>
Länge des Bogens der differenzierbaren Funktion f im Intervall [a,b]:
<math>L=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\mathrm dx</math>

Näherungsweises Berechnen von Integralen: Numerische Integration

Zerlegungssummen
<math>\int_a^bf(x)\mathrm dx\approx hf(x_1)+hf(x_2)+\cdots+hf(x_n)\qquad\text{mit }h=\frac{b-a}n</math>
Keplersche Fassregel
<math>\int_a^bf(x)\mathrm dx\approx\frac16\cdot\left(f(a)+4\cdot f\left(\frac{a+b}2\right)+f(b)\right)</math>
Trapezregel
- Sehnentrapez
<math>\int_a^bf(x)\mathrm dx\approx \frac{f(b)+f(a)}2\cdot(b-a)</math>

<math>\int_a^bf(x)\mathrm dx\approx\frac{b-a}{2n}\left(f(x_0)+2f(x_1)+\cdots+2f(x_{n-1}+f(x_n)\right)</math>
- Tangententrapez
<math>\int_a^bf(x)\mathrm dx\approx \frac{b-a}2\cdot\frac{b-a}2</math>
Simpsonregel
<math>\int_a^bf(x)\mathrm dx\approx\frac{b-a}6\cdot\left(f(a)+4f\left(\frac{a+b}2\right)+f(b)\right)</math>

<math>\int_a^bf(x)\mathrm dx\approx\frac{b-a}{6n}\cdot\left(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+\cdots f(x_n)\right)</math>

Quellen

Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4.