Quotientenregel

Die Quotientenregel ist eine grundlegende Ableitungsregel. Mit ihr wird die Ableitung eines Quotienten von Funktionen aus den Ableitungen der einzelnen Funktionen berechnet. In Kurzschreibweise lautet sie

<math>\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}</math>.

Aussage

Sind die Funktionen <math>u(x)</math> und <math>v(x)</math> von einem Intervall <math>D</math> in die reellen oder komplexen Zahlen an einer Stelle <math>x_0 \in D</math> mit <math>v(x_0)\neq 0</math> differenzierbar, dann ist auch die Funktion <math>f</math> mit

an der Stelle <math>x_0</math> differenzierbar und es gilt

<math>f'(x_0) = \frac{u'(x_0)\cdot v(x_0) - u(x_0)\cdot v'(x_0)}{(v(x_0))^2}</math>.<ref>Forster, Lindemann: Analysis 1. Springer Spektrum, 2023, S. 235.</ref>

Beispiele

Die Funktion <math>f(x) = \frac{x^2 - 1}{2 - 3 x}</math> ist Quotient der Funktionen

<math> u(x) = x^2 - 1 \quad</math>und <math> \quad v(x) = 2-3x</math>,

welche differenzierbar sind mit

<math>u'(x) = 2x \quad</math> und <math>\quad v'(x)=-3</math>.

Für <math display="inline">x \neq 2/3</math> erhält man durch Anwendung der Quotientenregel

<math>f'(x) = \frac{2 x \cdot (2 - 3 x) - (x^2 - 1) \cdot (-3)}{(2 - 3 x)^2} = \frac{-3 \cdot x^2 + 4 \cdot x - 3}{(2 - 3 x)^2}</math>.

Die Ableitung des Tangens kann bestimmt werden, wenn die Ableitung von Sinus und Kosinus bekannt ist. Aus der Beziehung <math>\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}</math> folgt für alle <math>\cos(x)\neq 0</math> mit der Quotientenregel

<math>\tan'(x) = \frac{\cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot (-\sin(x))}{(\cos(x))^2}

= \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} </math>.

Herleitung

Wenn <math>x</math> um <math>\Delta x</math> anwächst, ändert sich <math>u</math> um <math>\Delta u</math> und <math>v</math> um <math>\Delta v</math>. Die Änderung des Quotienten <math>u/v</math> beträgt damit

<math>

\frac{u + \Delta u}{v + \Delta v} - \frac{u}{v} </math>, oder, indem man den Hauptnenner bildet,

<math>

\frac{(u + \Delta u) \cdot v - u \cdot ( v + \Delta v )}{( v + \Delta v ) \cdot v}

        = \frac{\Delta u \cdot v - u \cdot \Delta v}{v^2 + \Delta v \cdot v}.

</math>

Dividiert man noch durch <math>\Delta x</math>, so erhält man den Differenzenquotienten von <math>u/v</math> als

<math> \frac{\frac{\Delta u}{\Delta x}\cdot v - u \cdot \frac{\Delta v}{\Delta x}}{ v^2 + \Delta v \cdot v }. </math>

Bildet man nun den Grenzübergang <math>\Delta x \to 0</math>, so erhält man schließlich die Ableitung

<math> \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{ u ' \cdot v - u \cdot v ' }{ v^2 }. </math><ref>G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00398-6, S. 187 (archive.org).</ref>

Beweise

Anhand des Differenzenquotienten

Ist <math>v</math> an <math>x_0</math> differenzierbar, so ist <math>v</math> dort insbesondere stetig. Unter der Voraussetzung <math>v(x_0) \neq 0</math> gibt es deshalb eine Umgebung <math>U</math> von <math>x_0</math>, in der überall <math>v(x) \neq 0</math> ist. In dieser Umgebung ist der Differenzenquotient

<math>\frac{1}{x-x_0} \left( \frac{u(x)}{v(x)}-\frac{u(x_0)}{v(x_0)} \right) = \frac{1}{x-x_0} \cdot \frac{u(x)v(x_0)-u(x_0)v(x)}{v(x)v(x_0)} </math>

von <math>f(x)=\tfrac{u(x)}{v(x)}</math> wohldefiniert. Addition und Subtraktion des Terms <math>u(x_0)v(x_0)</math> im Zähler des rechts stehenden Bruchs und elementare Termumformungen liefern die äquivalente Darstellung

<math>\frac{1}{v(x)v(x_0)} \left[ \frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}v(x_0) - u(x_0)\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0} \right] </math>.

Beim Grenzübergang <math>x \to x_0</math> strebt der Differenzenquotient von <math>u</math> gegen <math>u'(x_0)</math>, der Differenzenquotient von <math>v</math> gegen <math>v'(x_0)</math> und <math>v(x)v(x_0)</math> gegen <math> v(x_0)^2</math>.<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1. 3. Auflage. Birkhäuser, Basel / Berlin 2010, ISBN 978-3-7643-7755-7, S. 321. </ref><ref>Karl Strubecker: Einführung in die höhere Mathematik. Band II: Differentialrechnung einer reellen Veränderlichen. Oldenbourg, München 1967, S. 88. </ref>

Mithilfe der Produkt- und Kehrwertregel

Für <math> f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} = u(x) \cdot \frac{1}{v(x)}</math> gilt nach der Produktregel

<math>f'(x) = u'(x) \cdot \frac{1}{v(x)} + u(x) \cdot \left(\frac{1}{v(x)}\right)'</math>.

Mit der Kehrwertregel

<math>\left(\frac1{v(x)}\right)' = -\frac{v'(x)}{v^2(x)}</math>

folgt hieraus

<math> f'(x) = u'(x) \cdot \frac{1}{v(x)} + u(x) \cdot \left(-\frac{v'(x)}{v^2(x)}\right) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)}</math>.<ref>Forster, Lindemann: Analysis 1. 2023, S. 236.</ref>

Siehe auch

Literatur

Die Quotientenregel für Funktionen wird in fast jedem Einführungsbuch zur Differentialrechnung erläutert. Einige Beispiele sind:

Otto Forster, Florian Lindemann: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 13. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2023, ISBN 978-3-658-40129-0, S. 235–236.
Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 129
Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9), S. 270–271 (Auszug (Google)Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:GoogleBook“ ist nicht vorhanden.)

Weblinks

Quotientenregel auf Wikibooks

Einzelnachweise