Summenregel
Die Summenregel<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> ist eine grundlegende Ableitungsregel. Sie besagt: Sind zwei Funktionen <math>u</math> und <math>v</math> auf einem Intervall an der Stelle <math>x_0</math> differenzierbar, so ist auch die Summenfunktion <math>f=u+v</math> an dieser Stelle differenzierbar und man erhält die Ableitung der Summenfunktion durch gliedweises Ableiten:
- <math>(u+v)'(x_0)=u'(x_0)+v'(x_0)</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Beispiel
Die Funktion
- <math>f(x)=x^4+x^3</math>
ist die Summe der Funktionen
- <math>\ u(x) = x^4</math> und <math>\ v(x) = x^3</math>,
welche auf <math>\mathbb{R}</math> differenzierbar sind mit
- <math>\ u'(x) = 4x^3</math> und <math>\ v'(x) = 3x^2</math>
Daher ist auch <math>f(x)</math> auf <math>\mathbb{R}</math> differenzierbar und es gilt
- <math>\ f'(x) = 4 x^3 + 3 x^2</math>.
Herleitung
Seien <math>u</math> und <math>v</math> zwei Funktionen einer Variablen <math>x</math> und <math>f</math> die Summe von <math>u</math> und <math>v</math>. Dann führt eine Änderung <math>\Delta x</math> der unabhängigen Variablen zu Änderungen <math>\Delta u</math> und <math>\Delta v</math> der Summanden und damit mittelbar zu einer Änderung <math>\Delta f</math> von <math>f</math>:
- <math>\Delta f = \Delta u + \Delta v </math>.
Hieraus folgt, indem man durch <math>\Delta x</math> teilt, die Gleichung
- <math>\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta u + \Delta v}{\Delta x}=\frac{\Delta u}{\Delta x} + \frac{\Delta v}{\Delta x}</math>.
Lässt man nun <math>\Delta x \to 0</math> gehen, so erhält man die Summenregel.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Beweis
Sei <math>I</math> ein Intervall und seien <math>u, v\colon\ I \to \R</math> in <math>x_0 \in I</math> differenzierbar. Dann gilt für <math>f=u+v</math>:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
- <math>
\begin{align} \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} &=\lim_{x \to x_0}\frac{u(x)+v(x)-(u(x_0)+v(x_0))}{x-x_0} \\ &=\lim_{x \to x_0}\frac{u(x)-u(x_0)+v(x)-v(x_0)}{x-x_0} \\ &=\lim_{x \to x_0}\left(\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}+\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}\right) \\ &=\lim_{x \to x_0}\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}+\lim_{x \to x_0}\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}. \\ \end{align} </math> Dabei folgt die letzte Gleichheit aus dem Grenzwertsatz für Funktionengrenzwerte von Summen. Da per Voraussetzung die beiden Grenzwerte der letzten Zeile existieren, existieren auch die Grenzwerte in den Zeilen darüber und es gilt <math>f'(x_0)=u'(x_0)+v'(x_0)</math>.
Folgerungen
- Differenzregel: Betrachtet man die Differenz <math>f=g-h=g+(-h)</math> für Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>, die in <math>x_0</math> differenzierbar sind, ergibt sich aus der Summenregel und der Faktorregel, dass <math>f</math> in <math>x_0</math> differenzierbar ist und für die Ableitung <math>f'(x_0)=g'(x_0)-h'(x_0)</math> gilt.
- Zusammen mit der Faktorregel ergibt sich: Sind <math>g_1, \ldots, g_n</math> in <math>x_0 \in \mathbb{R}</math> differenzierbare Funktionen und <math>c_1, \ldots, c_n \in \mathbb{R}</math> reelle Konstanten, dann ist die Linearkombination <math>f(x) := \sum_{i=1}^nc_ig_i(x)</math> wiederum in <math>x_0</math> differenzierbar mit (gliedweise differenzierter) Ableitungsfunktion
- <math>f'(x_0) = \left(\sum_{i=1}^nc_ig_i\right)'(x_0) = \sum_{i=1}^nc_i {g_i}'(x_0)</math>.
- Daraus folgt: Die differenzierbaren Funktionen (auf einem gegebenen Intervall) bilden einen reellen Vektorraum, und die Differentiation ist eine lineare Abbildung von diesem Vektorraum in den Vektorraum aller Funktionen.
Siehe auch
Literatur
- Karl Strubecker: Einführung in die Höhere Mathematik. Band II: Differentialrechnung einer reellen Veränderlichen. Oldenbourg Verlag, München / Wien 1967, S. 86–87.
Weblinks
- Summenregel auf MathWorld (englisch)
Einzelnachweise
<references />