Notice: Unexpected clearActionName after getActionName already called in /var/www/html/includes/context/RequestContext.php on line 338 Feuerbachkreis – WikipediaZum Inhalt springen
Der Feuerbachkreis, auch Feuerbachscher Kreis oder Neun-Punkte-Kreis, ist ein besonderer Kreis im Dreieck, der nach Karl Wilhelm Feuerbach benannt ist. Auf ihm liegen neun ausgezeichnete Punkte:
die Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte (J, L, K) (das sind die Mittelpunkte der Strecken zwischen jeweils einer Dreiecksecke und dem Höhenschnittpunkt S des Dreiecks ABC).<ref>Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S.166.</ref>
Sonderfälle
Der Feuerbachkreis geht genau dann durch eine Ecke des Dreiecks (nämlich den Scheitel des rechten Winkels), wenn das Dreieck rechtwinklig ist (Bild „rechtwinklig“).
Der Feuerbachkreis berührt genau dann eine Dreiecksseite (nämlich die Basis), wenn das Dreieck gleichschenklig ist (Bild „gleichschenklig“).
Der Feuerbachkreis stimmt genau dann mit dem Inkreis überein, wenn das Dreieck gleichseitig ist (Bild „gleichseitig“).
Der Feuerbachkreis berührt den Inkreis des Dreiecks einschließend und die drei Ankreise des Dreiecks ausschließend, diese Eigenschaft wird auch als der Satz von Feuerbach bezeichnet. Der Punkt, in dem sich Feuerbachkreis und Inkreis berühren, wird Feuerbachpunkt des Dreiecks genannt. (Vorsicht: Manche, meist deutsche, Autoren bezeichnen den Mittelpunkt des Feuerbachkreises als „Feuerbachpunkt“ und dementsprechend die Existenz des Feuerbachkreises mit den in der Einleitung beschriebenen Eigenschaften als Satz von Feuerbach, siehe dazu z. B. Schupp)
Der Mittelpunkt des Feuerbachkreises liegt genau in der Mitte zwischen Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt, also auch auf der eulerschen Geraden.<ref name="Koecher-Krieg-165">Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S.165.</ref>
Der Mittelpunkt der Kiepert-Hyperbel liegt auf dem Feuerbachkreis.<ref>Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, X(115). In: evansville.edu. Abgerufen am 25. Januar 2025 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)).</ref>
Der Umkreis eines Dreiecks ist der Feuerbachkreis des von den zugehörigen Ankreismittelpunkten induzierten Co-Dreiecks. (Die Winkelhalbierenden des ursprünglichen Dreiecks sind die Höhen des Co-Dreiecks. Die Lote von den Ankreismittelpunkten auf die Seiten des ursprünglichen Dreiecks treffen sich in einem Punkt, dem Umkreismittelpunkt des Co-Dreiecks. In der Mitte zwischen Co-Dreieck-Höhenschnittpunkt [= Inkreismittelpunkt des ursprünglichen Dreiecks] und Co-Dreieck-Umkreismittelpunkt liegt der Umkreismittelpunkt des ursprünglichen Dreiecks.)
Die 4 Umkreise um Mittendreieck ([und Höhenfußpunktdreieck] Feuerbach-Kreis), Nagel-Dreieck (Kreis durch die Berührpunkte der Ankreise), Gergonne-Dreieck (Inkreis) und Winkelhalbierenden-Ceva-Dreieck haben einen Punkt gemeinsam, den Feuerbach-Punkt.
Koordinaten
Die trilinearen Koordinaten des Feuerbach-Mittelpunkts (<math>X_5</math>) sind (gleichwertig)
<math>\cos(\beta-\gamma) : \cos(\gamma-\alpha) : \cos(\alpha-\beta)</math>.<ref name="ETC-X5">Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, X(5). In: evansville.edu. Abgerufen am 25. Januar 2025 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)).</ref>
In Deutschland hat sich statt des Namens Neunpunktekreis der Name Feuerbachkreis eingebürgert. Grund dafür ist der von Feuerbach stammende, relativ schwierige Beweis, dass dieser Kreis den Inkreis und die Ankreise berührt. In der übrigen Welt sagt man meistens Neunpunktekreis. Es ist auch die Bezeichnung Eulerkreis verbreitet, denn dass die sechs Punkte D bis I auf einem Kreis liegen, zeigte schon Leonhard Euler 1765 (siehe Bilder oben).<ref>Eric Weisstein: Nine point circle. Mathworld.</ref> 1821 bewiesen Charles Julien Brianchon und Jean Victor Poncelet, dass diese sechs Punkte und noch drei weitere Punkte auf dem Kreis liegen, die Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte J, K, L. Feuerbach bewies 1822, dass der ursprünglich durch die Fußpunkte G, H, I gehende Kreis die In- und Ankreise berührte und außerdem durch die Seitenmitten E, F, D geht.<ref>Meyer, Berkhan: Neuere Dreiecksgeometrie. In: Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Band 3-1-2. 1914, S. 1258.</ref> Die übrigen drei Punkte J, K, L des Feuerbachkreises erwähnt er nicht. Wegen der sechs Punkte D bis I heißt er manchmal auch Sechspunktekreis. Der Feuerbachkreis wird auch manchmal nach Olry Terquem benannt, der selbst dafür 1842 den Begriff Neunpunktekreis prägte und einen analytischen Beweis des Satzes von Feuerbach über die In- und Ankreise gab (und die zusätzlichen drei Punkte wieder entdeckte). Eine weitere Wiederentdeckung des Neunpunktekreises geschah durch Jakob Steiner 1828 und T. S. Davies 1827.<ref>Webseite zur Geschichte nach J. MacKay (Proc. Edinburgh Math. Society, 1892, Band 11, S. 19–57). jwilson.coe.uga.edu</ref> J. S. MacKay fand 1892 in seinem Aufsatz zur Geschichte des Neunpunktekreises auch einige englische Autoren, die vor 1821 zur Geschichte des Feuerbachkreises beitrugen.
Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 164–167 (eingeschränkte Vorschau in der Google-BuchsucheSkriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:GoogleBook“ ist nicht vorhanden.)
Charles S. Ogilvy: Unterhaltsame Geometrie. 3. Auflage. Vieweg Verlag, Braunschweig 1984, ISBN 3-528-28314-9 („Excursions in geometry“, 1969).
Hans Schupp: Elementargeometrie. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 133–135 (Uni-Taschenbücher, 669, Mathematik).
John Sturgeon MacKay: History of the Nine Point Circle. In: Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 1892, Band 11, S. 19–61.<ref>Jim Wilson: History of the nine point circle. jwilson.coe.uga.edu, University of Georgia. Er bezieht sich auf MacKay.</ref><ref>cambridge.org</ref>
Stefan Götz, Franz Hofbauer: Ein einfacher Beweis für den Satz von Feuerbach mit koordinatenfreien Vektoren. In: Mathematische Semesterberichte (Springer), 2018, Band 65, S. 107–119; link.springer.com
Feuerbachkreis auf thema-mathematik.at (Wiki mit mehreren Grafiken und GeoGebra-Dateien)
Darij Grinberg: Feuerbachkreis mit sehr viel Information aus dem Umfeld (PDF; 190 kB) – ein sehr ausführliches Papier zum Feuerbachkreis mit sehr vielen Sätzen aus dem Umfeld. Sehr viele Beweise, auch ein Beweis zum Satz von Feuerbach.
