Kiepert-Hyperbel

Datei:Kiepert hyperbola 1.svg

Kiepert-Hyperbel mit ausgezeichneten Punkten (Dreieckszentren)

Die Kiepert-Hyperbel eines Dreiecks, benannt nach Ludwig Kiepert, ist eine spezielle Hyperbel, die durch die drei Eckpunkte des Dreiecks und eine Reihe seiner ausgezeichneten Punkte verläuft.

Definition

Datei:Kiepert hyperbola1.svg

Ausgangsdreieck <math> \triangle ABC </math>, Kiepert-Dreieck: <math> \triangle DEF </math>, Perspektivitätszentrum <math> P</math>, gleich große Basiswinkel (grün), Kiepert-Hyperbel (rot)

An den Seiten eines Dreiecks <math>\triangle ABC </math> werden drei ähnliche gleichschenklige Dreiecke <math> \triangle ABF </math>, <math> \triangle BCD </math> und <math> \triangle ACE </math> angefügt, und zwar jeweils mit einer Seite des gegebenen Dreiecks als Basis. Dann bilden die Spitzen der drei gleichschenkligen Dreiecke ein neues Dreieck <math> \triangle DEF </math>, das als Kiepert-Dreieck bezeichnet wird. Das Kiepert-Dreieck <math> \triangle DEF </math> und das Ausgangsdreieck <math> \triangle ABC </math> sind aufgrund des Satzes von Kiepert perspektivisch, das heißt, die Geraden <math>FC </math>, <math>AE </math> und <math>BD </math> schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt <math> P</math>, dem Perspektivitätszentrum.

Die Kiepert-Hyperbel des Dreiecks <math> \triangle ABC </math> ist nun definiert als der geometrische Ort aller dieser Perspektivitätszentren, die man erhält, wenn man die Basiswinkel der ähnlichen Dreiecke alle Winkel zwischen <math>-90^\circ </math> und <math>90^\circ </math> durchlaufen lässt.

Bezeichnungen und Koordinaten

Der Basiswinkel <math>\phi</math> der angefügten gleichschenkligen Dreiecke wird positiv genommen, wenn diese nach außen gerichtet sind, andernfalls negativ. Das zugehörige Kiepert-Dreieck wird mit <math>\mathcal K_\phi</math> bezeichnet, das Perspektivitätszentrum mit <math>K_\phi</math>.

Die baryzentrischen Koordinaten von <math>K_\phi</math> sind

<math> \left( \frac{1}{S_A + S_\phi} : \frac{1}{S_B + S_\phi}: \frac{1}{S_C + S_\phi} \right).</math>

Dabei werden die Abkürzungen <math>S_A = \tfrac{b^2+c^2-a^2}{2}</math> (<math>S_B, S_C</math> entsprechend) und <math>S_\phi = 2 \Delta \cot\phi</math> der Conway-Dreiecksnotation verwendet. <math>a, b, c</math> stehen für die Seitenlängen, <math>\Delta</math> für den Flächeninhalt des Dreiecks.

Die Formel für die Kiepert-Hyperbel in baryzentrischen Koordinaten ist

<math>(b^2-c^2)yz + (c^2-a^2)xz + (a^2-b^2)xy=0.\,</math>

Der Mittelpunkt der Kiepert-Hyperbel hat die baryzentrischen Koordinaten

<math>(b^2-c^2)^2 : (c^2-a^2)^2 : (a^2-b^2)^2,\,</math>

die Kimberling-Nummer X(115) und liegt auf dem Feuerbach-Kreis (Neun-Punkte-Kreis).<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Clark Kimberling|Clark Kimberling: }}{{#if:|{{#if:Enyclopedia of Triangle Centers, X(115)|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(115)}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X115%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Enyclopedia of Triangle Centers, X(115)}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X115}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Enyclopedia of Triangle Centers, X(115)}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2025-01-20 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Eigenschaften

Datei:Kiepert hyperbola2.gif

Kiepert-Hyperbel

Bei der Kiepert-Hyperbel handelt es sich um eine gleichseitige Hyperbel, die unter anderem durch folgende Punkte geht:

• die Ecken des gegebenen Dreiecks,<ref name="Eddy-Fritsch-193">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
• den Höhenschnittpunkt,<ref name="Eddy-Fritsch-193" />
• den Schwerpunkt,<ref name="Eddy-Fritsch-193" />
• den Spieker-Punkt,
• die beiden Napoleon-Punkte,
• die beiden Fermat-Punkte,<ref name="Eddy-Fritsch-193" />
• den Tarry-Punkt,
• den dritten Brocard-Punkt,<ref name="Eddy-Fritsch-193" />
• die beiden Vecten-Punkte.

Die Kiepert-Hyperbel ist isogonal konjugiert zur Brocard-Achse.

Literatur

• R. H. Eddy, R. Fritsch: The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle. Mathematics Magazine, Band 67, Nr. 3 (Juni, 1994), S. 188–205
• Cristoph Pöppe: Napoleons Punkt und Kieperts Hyperbel. In: Spektrum der Wissenschaft, August 2017

Weblinks

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• {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Kiepert Hyperbola. In: MathWorld (englisch). {{#if: KiepertHyperbola | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | KiepertHyperbola | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
• Kiepert-Hyberbel – Animation mit GeoGebra

Einzelnachweise

<references />