Brocard-Punkte
Brocard-Punkte sind spezielle Punkte im Dreieck; benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Brocard (1845–1922), der bei ihrer Definition auftretende spezielle Winkel wird als Brocard-Winkel bezeichnet.
Definition
Brocard wurde am bekanntesten für den folgenden Satz:
In einem Dreieck <math>\Delta ABC</math> mit den Seiten <math>a, b, c</math> gibt es genau einen Punkt <math>P</math> derart, dass die Strecken <math>\overline{AP}, \overline{BP}, \overline{CP}</math> der Reihe nach mit den Seiten <math>c, a, b</math> den gleichen Winkel <math>\omega</math> einschließen, d. h., dass die Winkelgleichung <math>\angle PBC = \angle PCA = \angle PAB</math> gilt. Dieser Punkt <math>P</math> heißt der erste Brocard-Punkt und der Winkel <math>\omega</math> heißt der Brocard-Winkel des Dreiecks <math>\Delta ABC</math>.
Es gibt noch einen zweiten Brocard-Punkt des Dreiecks ABC; das ist derjenige Punkt Q, für den die Strecken Vorlage:Overline, Vorlage:Overline, Vorlage:Overline der Reihe nach mit den Seiten b, c, a gleiche Winkel einschließen, d. h. für den <math>\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC</math> gilt. Merkwürdigerweise entspricht diesem zweiten Brocard-Punkt derselbe Brocard-Winkel wie dem ersten Brocard-Punkt, d. h. der Winkel <math>\angle PBC = \angle PCA = \angle PAB</math> ist dem Winkel <math>\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC</math> gleich.
Die zwei Brocard-Punkte sind eng miteinander verwandt; in der Tat hängt die Unterscheidung des ersten von dem zweiten davon ab, in welcher Reihenfolge man die Ecken des Dreiecks ABC nimmt! So ist z. B. der erste Brocard-Punkt des Dreiecks ABC gleichzeitig der zweite Brocard-Punkt des Dreiecks ACB.
Vor Brocard wurden sie schon von August Leopold Crelle (1817) und Karl Friedrich Andreas Jacobi (1825) untersucht.
Konstruktion
Die eleganteste Konstruktion der Brocard-Punkte, im Folgenden an dem Beispiel des ersten Brocard-Punktes P beschrieben (in der nebenstehenden Abbildung wurden aus Platzgründen die Kreise durch Kreisbögen ersetzt), geht folgendermaßen:
Man schneidet die Mittelsenkrechte ms1 der Seite Vorlage:Overline mit der Senkrechten s1 zu der Seite Vorlage:Overline durch den Punkt B. Um den Schnittpunkt zeichnet man einen Kreis so, dass er durch den Punkt B geht. Dann geht dieser Kreis auch durch den Punkt A und berührt die Seite Vorlage:Overline im Punkt B. Analog konstruieren wir einen Kreis durch die Punkte C und B, der die Seite Vorlage:Overline im Punkt C berührt, und einen Kreis durch die Punkte A und C, der die Seite Vorlage:Overline im Punkt A berührt. Diese drei Kreise haben einen gemeinsamen Punkt P – den ersten Brocard-Punkt des Dreiecks ABC!
Die drei soeben konstruierten Kreise werden auch als Beikreise des Dreiecks ABC bezeichnet. Analog konstruiert man den zweiten Brocard-Punkt Q (grün gestrichelte Linien).
Formeln für den Brocard-Winkel
Schreibt man <math>A_\Delta</math> für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, so lässt sich der Brocard-Winkel mit folgenden Formeln berechnen:
- <math> \tan \omega = \frac {4A_\Delta}{a^2+b^2+c^2}</math>.<ref name="Grundmann-Brocardpunkte">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
- <math>\cot\omega = \cot \alpha + \cot \beta + \cot \gamma</math>.<ref name="Grundmann-Brocardpunkte" />
- <math>\sin \omega = \frac{2A_\Delta}{\sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}}</math>
Für jedes Dreieck gilt <math>\omega \leq 30^\circ</math>.
Eigenschaften
- Die beiden Brocard-Punkte eines Dreiecks ABC sind stets zueinander isogonal konjugiert.
- Der Mittelpunkt der beiden Brocard-Punkte (Kimberling-Nummer X(39)) liegt auf der sogenannten Brocard-Achse, die den Umkreismittelpunkt und den Lemoine-Punkt verbindet. Die Verbindungsgerade der beiden Brocard-Punkte ist senkrecht zur Brocard-Achse.
Koordinaten
Die trilinearen Koordinaten des ersten bzw. zweiten Brocard-Punkts sind
- <math>\frac{c}{b} \, : \, \frac{a}{c} \, : \, \frac{b}{a} \quad \text{bzw.} \quad \frac{b}{c} \, : \, \frac{c}{a} \, : \, \frac{a}{b}</math>.<ref name="ETC-P1">{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Clark Kimberling|Clark Kimberling: }}{{#if:|{{#if:"Encyclopedia of Triangle Centers, Bicentric Pairs"|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel="Encyclopedia of Triangle Centers, Bicentric Pairs"}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/BicentricPairs.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1="Encyclopedia of Triangle Centers, Bicentric Pairs"}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/BicentricPairs.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1="Encyclopedia of Triangle Centers, Bicentric Pairs"}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2025-02-02 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
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Die baryzentrischen Koordinaten sind
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Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks.
Dritter Brocard-Punkt
Gelegentlich wird der Punkt mit trilinearen Koordinaten <math>(a^{-3},b^{-3},c^{-3})</math> als „dritter“ Brocard-Punkt bezeichnet. Er hat die Kimberling-Nummer <math>X_{76}</math> und die baryzentrischen Koordinaten <math>(a^{-2},b^{-2},c^{-2})</math>.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Clark Kimberling|Clark Kimberling: }}{{#if:|{{#if:Enyclopedia of Triangle Centers, X(76)|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(76)}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X76%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Enyclopedia of Triangle Centers, X(76)}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X76}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Enyclopedia of Triangle Centers, X(76)}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2025-02-02 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
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Literatur
- Ross Honsberger Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, MAA, 1995, Kapitel 10 (Brocard Points)
- Roger A. Johnson Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, Houghton Mifflin 1929, Neuauflage als Advanced Euclidean Geometry, Dover 1960
- Julian Coolidge A treatise on the geometry of the circle and the square, New York, Chelsea 1971
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Brocard Points (First Brocard Point, Second Brocard Point, Third Brocard Point) auf MathWorld
Einzelnachweise
<references />
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:URL
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:Linktext
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:Datum
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:"
- Wikipedia:Weblink offline fix-attempted
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link/URL fehlt
- Dreiecksgeometrie