Faserung

Der Begriff der Faserung verallgemeinert den Begriff eines Faserbündels und spielt in der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik eine wichtige Rolle. Anwendung finden Faserungen zum Beispiel in Postnikow-Systemen oder der Obstruktionstheorie.

In diesem Artikel sind alle Abbildungen stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen.

Definitionen

Homotopie-Hochhebungseigenschaft

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Eine Abbildung <math>p \colon E \to B</math> erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für einen Raum <math>X</math>, falls:

für jede Homotopie <math>h \colon X \times [0, 1] \to B</math> und
für jede Abbildung (auch Lift genannt) <math>\tilde h_0 \colon X \to E ,</math> die <math>h_0 = h|_{X \times {0}}</math> hochhebt (bzw. liftet) (d. h. <math>h_0 = p \circ \tilde h_0</math>),

existiert eine Homotopie <math>\tilde h \colon X \times [0, 1] \to E,</math> die <math>h</math> hochhebt (d. h. <math>h = p \circ \tilde h</math>) mit <math>\tilde h_0 = \tilde h|_{X \times {0}}.</math>

Das folgende kommutative Diagramm zeigt die Situation:<ref name=":1">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Datei:Homotopie-Hochhebungseigenschaft.svg

{{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}} Faserung

Eine Faserung (oder auch Hurewicz-Faserung) ist eine Abbildung <math>p \colon E \to B ,</math> welche die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle Räume <math>X</math> erfüllt. Der Raum <math>B</math> wird Basisraum und der Raum <math>E</math> wird Totalraum genannt. Als Faser über <math>b \in B</math> bezeichnet man den Unterraum <math>p^{-1}(b) = F_b \subseteq E .</math><ref name=":1" />

{{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}} Serre-Faserung

Eine Serre-Faserung (auch schwache Faserung genannt) ist eine Abbildung <math>p \colon E \to B ,</math> welche die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle CW-Komplexe erfüllt.<math>^{[1]S.375-376}</math>

Jede Hurewicz-Faserung ist eine Serre-Faserung.

Quasifaserung

Eine Abbildung <math>p \colon E \to B</math> wird Quasifaserung genannt, falls für jedes <math>b \in B,</math> <math>e \in p^{-1}(b)</math> and <math>i \geq 0</math> gilt, dass die induzierte Abbildung <math>p_* \colon \pi_i (E, p^{-1}(b), e) \to \pi_i(B, b)</math> ein Isomorphismus ist.

Jede Serre-Faserung ist eine Quasifaserung.<math>^{[5] S. 241-242}</math>

Beispiele

Die Projektion auf den ersten Faktor <math>p \colon B \times F \to B</math> ist eine Faserung.
Jede Überlagerung <math>p \colon E \to B</math> erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für jeden Raum <math>X.</math> Speziell gibt es für jede Homotopie <math>h \colon X \times [0, 1] \to B</math> und jeden Lift <math>\tilde h_0 \colon X \to E</math> einen eindeutig definierten Lift <math>\tilde h \colon X \to B</math> mit <math>p \circ \tilde h = h .</math><math>^{[2]S.159}</math><math>^{[3]S.50}</math>
Faserbündel <math>p \colon E \to B</math> erfüllen die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle CW-Komplexe.<math>^{[1]S.379}</math>
Ein Faserbündel mit parakompaktem Hausdorff Basisraum erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle Räume.<math>^{[1]S.379}</math>
Eine Faserung, welche kein Faserbündel ist, ist die von der Inklusion <math>i \colon \partial I^k \to I^k</math> induzierte Abbildung <math>i^* \colon X^{I^k} \to X^{\partial I^k},</math> wobei <math>k \in \N ,</math> <math>X</math> ein topologischer Raum und <math>X^{A} = \{f \colon A \to X\}</math> der Raum aller stetigen Abbildungen mit der Kompakt-Offen-Topologie ist.<math>^{[2]S.198}</math>
Die Hopf-Faserung <math>S^1 \to S^3 \to S^2</math> ist ein nicht triviales Faserbündel und speziell eine Serre-Faserung.

Grundlegende Konzepte

Faser-Homotopieäquivalenz

Eine Abbildung <math>f \colon E_1 \to E_2</math> zwischen Totalräumen von zwei Faserungen <math>p_1 \colon E_1 \to B</math> und <math>p_2 \colon E_2 \to B</math> mit gleichem Basisraum ist ein Faserungs-Homomorphismus, falls das Diagramm

200

kommutiert. Die Abbildung <math>f</math> ist eine Faser-Homotopieäquivalenz, falls zusätzlich ein Faserungs-Homomorphismus <math>g \colon E_2 \to E_1</math> existiert, sodass die Verknüpfungen <math>f \circ g</math> bzw. <math>g \circ f</math> homotop, durch Faserungs-Homomorphismen, zu den Identitäten <math>Id_{E_2}</math> bzw. <math>Id_{E_1}</math>sind.<ref name=":0">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Pullback-Faserung

Gegeben seien eine Faserung <math>p \colon E \to B</math> und eine Abbildung <math>f \colon A \to B</math>. Die Abbildung <math>p_f \colon f^*(E) \to A</math> ist eine Faserung, wobei <math>f^*(E) = \{(a, e) \in A \times E | f(a) = p(e)\}</math> der Pullback ist und die Projektionen von <math>f^*(E)</math> auf <math>A</math> und <math>E</math> das kommutative Diagramm liefern:

Datei:Pullback fibration.svg

Die Faserung <math>p_f</math> wird Pullback-Faserung oder auch induzierte Faserung genannt.<ref name=":0" />

Wegeraum-Faserung

Mit der Wegeraumkonstruktion kann jede stetige Abbildung zu einer Faserung erweitert werden, indem man den Definitionsbereich der Abbildung zu einem homotopieäquivalenten Raum vergrößert. Diese Faserung wird dann Wegeraum-Faserung genannt.

Der Totalraum <math>E_f</math> der Wegeraum-Faserung für eine stetige Abbildung <math>f \colon A \to B</math> zwischen topologischen Räumen besteht aus Paaren <math>(a, \gamma)</math> mit <math>a \in A</math> und Wegen <math>\gamma \colon I \to B</math> mit Startpunkt <math>\gamma (0) = f(a)~</math>, wobei <math>I = [0, 1]</math> das Einheitsintervall ist. Der Raum <math>E_f = \{ (a, \gamma) \in A \times B^I | \gamma (0) = f(a) \}</math> trägt die Teilraumtopologie von <math>A \times B^I ,</math> wobei <math>B^I</math> den Raum aller Abbildungen <math>I \to B</math> beschreibt und die Kompakt-Offen-Topologie trägt.

Die Wegeraum-Faserung ist durch die Abbildung <math>p \colon E_f \to B</math> mit der Abbildungsvorschrift <math>p(a, \gamma) = \gamma (1)</math> gegeben. Die Faser <math>F_f</math> wird auch Homotopie-Faser von <math>f</math> genannt und besteht aus den Paaren <math>(a, \gamma)</math> mit <math>a \in A</math> und Wegen <math>\gamma \colon [0, 1] \to B ,</math> wobei <math>\gamma(0) = f(a)</math> und <math>\gamma(1) = b_0 \in B</math> gilt.

Für den Spezialfall der Inklusion des Basispunktes <math>i \colon b_0 \to B ,</math> ergibt sich ein wichtiges Beispiel der Wegeraum-Faserung. Der Totalraum <math>E_i</math> besteht aus allen Wegen in <math>B,</math> die am Punkt <math>b_0</math> starten. Dieser Raum wird mit <math>PB</math> gekennzeichnet und Wegeraum genannt. Die Wege-Faserung <math>p \colon PB \to B</math> ordnet jedem Weg seinen Endpunkt zu, weshalb die Faser <math>p^{-1}(b_0)</math> aus allen geschlossenen Wegen besteht. Die Faser wird mit <math>\Omega B</math> gekennzeichnet und Schleifenraum genannt.<math>^{[1]S.407-408}</math>

Eigenschaften

Die Fasern <math>p^{-1}(b)</math> über <math>b \in B</math> sind für die einzelnen Wegzusammenhangskomponenten von <math>B</math> homotopieäquivalent.<math>^{[1] S. 405}</math>
Für eine Homotopie <math>f \colon [0, 1] \times A \to B</math> sind die Pullback Faserungen <math>f^*_0(E) \to A</math> und <math>f^*_1(E) \to A</math> Faser homotopieäquivalent.<math>^{[1] S. 406}</math>
Ist der Basisraum <math>B</math> zusammenziehbar, dann ist <math>p \colon E \to B</math> Faser homotopieäquivalent zu einer Produkt Faserung <math>B \times F \to B.</math><math>^{[1] S. 406}</math>
Die Wegeraum-Faserung von <math>p</math> ist sich selbst sehr ähnlich. Genauer gilt: Die Inklusion <math>E \hookrightarrow E_p</math> ist eine Faser-Homotopieäquivalenz.<math>^{[1] S. 408}</math>
Ist der Totalraum <math>E</math> zusammenziehbar, dann gibt es eine schwache Homotopieäquivalenz <math>F \to \Omega B.</math><math>^{[1] S. 408}</math>

Puppe-Sequenz

Für eine Faserung <math>p \colon E \to B</math> mit Faser <math>F</math> und Basispunkt <math>b_0 \in B</math> ist die Inklusion <math>F \hookrightarrow F_p</math> der Faser in die Homotopie-Faser eine Homotopieäquivalenz. Die Abbildung <math>i \colon F_p \to E</math> mit <math>i (e, \gamma) = e,</math> wobei <math>e \in E</math> und <math>\gamma \colon I \to B</math> ein Weg von <math>p(e)</math> nach <math>b_0</math> im Basisraum sind, ist eine Faserung. Sie ist die Pullback-Faserung der Wege-Faserung <math>PB \to B.</math> Dieses Vorgehen kann nun wieder auf die Faserung <math>i</math> angewandt und iteriert werden. Dies führt zu einer langen Sequenz:

<math> \cdots \to F_j \to F_i \xrightarrow j F_p \xrightarrow i E \xrightarrow p B.</math>

Die Faser von <math>i</math> über einem Punkt <math>e_0 \in p^{-1}(b_0)</math> besteht aus genau den Paaren <math>(e_0, \gamma)</math> mit geschlossenen Wegen <math>\gamma</math> und Startpunkt <math>b_0</math>, also dem Schleifenraum <math>\Omega B .</math> Die Inklusion <math>\Omega B \to F</math> ist eine Homotopieäquivalenz und durch Iteration ergibt sich die Sequenz:

<math>\cdots \Omega^2B \to \Omega F \to \Omega E \to \Omega B \to F \to E \to B.</math>

Durch die Dualität von Faserung und Kofaserung existiert auch eine Sequenz von Kofaserungen. Diese beiden Sequenzen sind unter dem Namen Puppe-Sequenzen oder auch Sequenz von Faserungen bzw. Kofaserungen bekannt.<math>^{[1] S. 407-409}</math>

Hauptfaserung

Eine Faserung <math>p \colon E \to B</math> mit Faser <math>F</math> wird Hauptfaserung genannt, falls ein kommutatives Diagramm existiert:

Datei:Principal fibration.svg

Die untere Zeile ist eine Sequenz von Faserungen und die vertikalen Abbildungen sind schwache Homotopieäquivalenzen. Hauptfaserungen spielen eine wichtige Rolle bei Postnikow-Türmen.<math>^{[1] p. 412}</math>

Lange exakte Homotopiesequenz

Für eine Serre-Faserung <math>p \colon E \to B</math> existiert eine lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen. Für Basispunkte <math>b_0 \in B</math> und <math>x_0 \in F = p^{-1}(b_0)</math> ist diese gegeben durch:

<math>\cdots \rightarrow \pi_n(F,x_0) \rightarrow \pi_n(E, x_0) \rightarrow \pi_n(B, b_0) \rightarrow \pi_{n - 1}(F, x_0) \rightarrow \cdots \rightarrow \pi_0(F, x_0) \rightarrow \pi_0(E, x_0).</math>

Die Homomorphismen <math>\pi_n(F, x_0) \rightarrow \pi_n(E, x_0)</math> und <math>\pi_n(E, x_0) \rightarrow \pi_n(B, b_0)</math> sind die induzierten Homomorphismen der Inklusion <math>i \colon F \hookrightarrow E</math> und der Projektion <math>p \colon E \rightarrow B .</math><math>^{[1] S. 376}</math>

Hopf-Faserungen

Unter den Hopf-Faserungen versteht man eine Familie von Faserbündeln, deren Faser, Totalraum und Basisraum Sphären sind:

<math>S^0 \hookrightarrow S^1 \rightarrow S^1,</math>

<math>S^1 \hookrightarrow S^3 \rightarrow S^2 ,</math>

<math>S^3 \hookrightarrow S^7 \rightarrow S^4 ,</math>

<math>S^7 \hookrightarrow S^{15} \rightarrow S^8 .</math>

Die lange exakte Homotopiesequenz der Hopf-Faserung <math>S^1 \hookrightarrow S^3 \rightarrow S^2</math> liefert:

<math>\cdots \rightarrow \pi_n(S^1,x_0) \rightarrow \pi_n(S^3, x_0) \rightarrow \pi_n(S^2, b_0) \rightarrow \pi_{n - 1}(S^1, x_0) \rightarrow \cdots \rightarrow \pi_1(S^1, x_0) \rightarrow \pi_1(S^3, x_0) \rightarrow \pi_1(S^2, b_0).</math>

Die Sequenz zerfällt in kurze exakte Sequenzen, da die Faser <math>S^1</math> in <math>S^3</math> zu einem Punkt zusammengezogen werden kann:

<math>0 \rightarrow \pi_i(S^3) \rightarrow \pi_i(S^2) \rightarrow \pi_{i-1}(S^1) \rightarrow 0 .</math>

Diese kurze exakte Sequenz zerfällt wegen des Einhängungshomomorphismus <math> \phi \colon \pi_{i - 1}(S^1) \to \pi_i(S^2)~</math>und es gibt Isomorphismen:

<math>\pi_i(S^2) \cong \pi_i(S^3) \oplus \pi_{i - 1}(S^1) .</math>

Die Homotopiegruppen <math>\pi_{i - 1}(S^1)</math> sind für <math>i \geq 3</math> trivial, weshalb es Isomorphismen zwischen <math>\pi_i(S^2)</math> und <math>\pi_i(S^3)</math> ab <math>i = 3</math> gibt. Analog kann die Faser <math>S^3</math> in <math>S^7</math> und die Faser <math>S^7</math> in <math>S^{15}</math> zu einem Punkt zusammengezogen werden. Die kurzen exakten Sequenzen zerfallen weiter, wodurch es Familien von Isomorphismen gibt:

<math>\pi_i(S^4) \cong \pi_i(S^7) \oplus \pi_{i - 1}(S^3)</math> und <math>\pi_i(S^8) \cong \pi_i(S^{15}) \oplus \pi_{i - 1}(S^7) .</math><math>^{[6] S. 111}</math>

Spektralsequenz

Spektralsequenzen sind wichtige Hilfsmittel in der algebraischen Topologie zur Berechnung von (Ko-)Homologiegruppen.

Die Leray-Serre-Spektralsequenz stellt einen Zusammenhang zwischen der (Ko-)Homologie von Totalraum und Faser mit der (Ko-)Homologie des Basisraums einer Faserung her. Für eine Faserung <math>p \colon E \to B</math> mit Faser <math>F</math>, wobei der Basisraum ein wegzusammenhängender CW-Komplex ist, und einer additiven Homologietheorie <math>G_*</math> existiert eine Spektralsequenz:

<math>H_k (B; G_q(F)) \cong E^2_{k, q} \implies G_{k + q}(E).</math><math>^{[7] S. 242}</math>

Faserungen liefern in der Homologie keine langen exakten Sequenzen, wie in der Homotopie. Aber unter bestimmten Bedingungen, liefern Faserungen exakte Sequenzen in der Homologie. Für eine Faserung <math>p \colon E \to B</math> mit Faser <math>F</math>, wobei Basisraum und Faser wegzusammenhängend sind, die Fundamentalgruppe <math>\pi_1(B)</math> auf <math>H_*(F)</math> trivial operiert und zusätzlich die Bedingungen <math>H_p(B) = 0</math> für <math>0<p<m</math> und <math>H_q(F) = 0</math> für <math>0<q<n</math> gelten, existiert eine exakte Sequenz:

<math>H_{m+n-1}(F) \xrightarrow {i_*} H_{m+n-1}(E) \xrightarrow {f_*} H_{m+n-1} (B) \xrightarrow \tau H_{m+n-2} (F) \xrightarrow {i^*} \cdots \xrightarrow {f_*} H_1 (B) \to 0.</math><math>^{[7] S. 250}</math>

Diese Sequenz kann z. B. benutzt werden, um den Satz von Hurewicz zu beweisen oder um die Homologiegruppen von Schleifenräumen der Form <math>\Omega S^n</math> zu berechnen:

<math>H_k (\Omega S^n) = \begin{cases} \Z & \exist q \in \Z \colon k = q (n-1)\\

0 & sonst\end{cases}.</math><math>^{[8] S. 162}</math> Für den Spezialfall einer Faserung <math>p \colon E \to S^n,</math> bei welcher der Basisraum eine <math>n</math>-Sphäre mit Faser <math>F</math> ist, existieren exakte Sequenzen (auch Wang Sequenzen genannt) für Homologie und Kohomologie:

<math>\cdots \to H_q(F) \xrightarrow{i_*} H_q(E) \to H_{q-n}(F) \to H_{q-1}(F) \to \cdots</math>

<math>\cdots \to H^q(E) \xrightarrow{i^*} H^q(F) \to H^{q-n+1}(F) \to H^{q+1}(E) \to \cdots</math><math>^{[4] S.456}</math>

Orientierbarkeit

Für eine Faserung <math>p \colon E \to B</math> mit Faser <math>F</math> und einem festen kommutativen Ring <math>R</math> mit Eins existiert ein kontravarianter Funktor von dem Fundamentalgruppoid von <math>B</math> zur Kategorie von graduierten <math>R</math>-Moduln, welcher jedem <math>b \in B</math> den Modul <math>H_*(F_b, R)</math> und der Wegeklasse <math>[\omega]</math> den Homomorphismus <math>h [\omega]_* \colon H_*(F_{\omega (0)}, R) \to H_*(F_{\omega(1)}, R)</math> zuordnet, wobei <math>h[\omega]</math> eine Homotopieklasse in <math>[F_{\omega(0)}, F_{\omega(1)}]</math> ist.

Eine Faserung wird orientierbar über <math>R</math> genannt, falls für jeden geschlossenen Weg <math>\omega</math> in <math>B</math> gilt: <math>h[\omega]_* = 1.</math><math>^{[4] S. 476}</math>

Euler-Charakteristik

Für eine über einem Körper <math>\mathbb{K}</math> orientierbare Faserung <math>p \colon E \to B</math> mit Faser <math>F</math> und wegzusammenhängendem Basisraum ist die Euler-Charakteristik des Totalraums definiert durch:

Die Euler-Charakteristiken des Basisraums und der Faser sind dabei über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> definiert.<math>^{[4] S. 481}</math>

Literatur

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Einzelnachweise