Kompakt-Offen-Topologie

Die Kompakt-Offene-Topologie, kurz KO-Topologie,<ref name="Laures9">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Struktur auf Funktionenräumen stetiger Funktionen. Sind nämlich <math>X</math> und <math>Y</math> topologische Räume, so sind die stetigen Abbildungen die strukturerhaltenden Abbildungen. Daher liegt es nahe, die Menge <math>C(X,Y)</math> aller stetigen Funktionen <math>X\to Y</math> wieder mit einer Topologie auszustatten. Unter den vielen Möglichkeiten, das zu tun, hat sich die Kompakt-Offen-Topologie als besonders geeignet herausgestellt.

Die Mathematiker R. H. Fox (1945) und Richard Friederich Arens (1946) definierten als erste diese Topologie und untersuchten sie systematisch.<ref>Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9, S. 333.</ref>

Definition

Seien <math>X</math> und <math>Y</math> topologische Räume. Ist <math>K\subset X</math> kompakt und <math>U\subset Y</math> offen, so sei <math>\Omega(K,U) := \{f\in C(X,Y): \, f(K)\subset U\}</math>.

Die Kompakt-Offen-Topologie auf <math>C(X,Y)</math> ist die von allen Mengen der Form <math>\Omega(K,U)</math>, <math>K\subset X</math> kompakt, <math>U\subset Y</math> offen, erzeugte Topologie, d. h., die offenen Mengen dieser Topologie sind beliebige Vereinigungen endlicher Durchschnitte solcher Mengen <math>\Omega(K,U)</math>.

Die Mengen <math>\Omega(K,U)</math>, <math>K\subset X</math> kompakt, <math>U\subset Y</math> offen, bilden damit eine Subbasis der Kompakt-Offen-Topologie. Diese Topologie wird oft mit <math>co</math> abgekürzt (engl. compact-open), <math>C_{co}(X,Y)</math> bezeichnet dann den Raum <math>C(X,Y)</math>, der mit der Kompakt-Offen-Topologie versehen ist.

Eigenschaften

Im Folgenden seien <math>X</math> und <math>Y</math> topologische Räume.

Trennungsaxiome

Ist Y T₀-Raum, T₁-Raum, Hausdorffraum, regulärer Raum oder ein vollständig regulärer Raum, so genügt <math>C_{co}(X,Y)</math> demselben Trennungsaxiom.

Die Auswertungsabbildung

Für jede Teilmenge <math>H\subset C(X,Y)</math> hat man die Auswertungsabbildung <math>j_H: H\times X \to Y, (f,x)\mapsto f(x)</math>. Ist <math>\tau</math> irgendeine Topologie auf <math>H</math>, so dass <math>j_H</math> stetig ist (<math>H\times X</math> trägt dabei die Produkttopologie aus <math>\tau</math> und der auf <math>X</math> gegebenen Topologie), so ist <math>co|_H\subset \tau</math>, d. h., die relative Kompakt-Offen-Topologie auf <math>H</math> ist gröber als <math>\tau</math>. In einem wichtigen Spezialfall ist die Auswertungsabbildung <math>j_H</math> stetig, wenn man <math>H</math> mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie versieht; es gilt:

Ist <math>X</math> lokalkompakt und <math>Y</math> ein beliebiger topologischer Raum, so ist die Kompakt-Offen-Topologie auf jeder Teilmenge <math>H\subset C(X,Y)</math> die gröbste Topologie, die die Auswertungsabbildung <math>j_H: H\times X \to Y, (f,x)\mapsto f(x)</math> stetig macht.

Komposition

Seien <math>X</math> und <math>Y</math> lokalkompakt, <math>Z</math> sei ein dritter topologischer Raum. Dann ist die Kompositionsabbildung

<math>C_{co}(X,Y)\times C_{co}(Y,Z) \rightarrow C_{co}(X,Z), \,\, (f,g)\mapsto g\circ f</math>

stetig.

Kompakte Konvergenz

Sei <math>X</math> lokalkompakt, <math>Y</math> uniformer Raum. Dann stimmt die Kompakt-Offen-Topologie auf <math>C(X,Y)</math> mit der Topologie der kompakten Konvergenz überein.

Anwendung

Als typische Anwendung in der algebraischen Topologie wird hier die rekursive Definition der höheren Homotopiegruppen vorgestellt. Es sei <math>X</math> ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt <math>p\in X</math>. Mit <math>\pi_1(X,p)</math> werde die Fundamentalgruppe zum Basispunkt <math>p</math> bezeichnet. Zur Definition der höheren Homotopiegruppen <math>\pi_n(X,p)</math> betrachte man den Raum <math>\Omega_{X,p}</math> aller stetigen Abbildungen <math>g: ([0,1], \partial[0,1])\to (X,p)</math> des Einheitsintervalls <math>[0,1]</math> nach <math>X</math>, die den Rand <math>\partial[0,1]</math> des Einheitsintervalls auf den Basispunkt <math>p</math> abbilden. Bezeichnet man die konstante Funktion aus <math>\Omega_{X,p}</math>, die das Einheitsintervall auf den Punkt <math>p</math> abbildet, mit <math>\tilde{p}</math> und versieht man <math>\Omega_{X,p}</math> mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie von <math>C([0,1],X)</math>, so ist das Paar <math>(\Omega_{X,p},\tilde{p})</math> ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt.

Man definiert nun <math>\pi_2(X,p):= \pi_1(\Omega_{X,p},\tilde{p})</math> und allgemeiner rekursiv <math>\pi_n(X,p):= \pi_{n-1}(\Omega_{X,p},\tilde{p})</math> für <math>n>1</math>.

Literatur

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Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Teubners mathematische Leitfäden. {{#if: {{#if: | {{#invoke:TemplUtl|faculty|{{{suffix}}}}} }}

 | {{#if:trim|259127-3}}. In: Zeitschriftendatenbank (ZDB).
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Einzelnachweise