Dirac-Operator
Der Dirac-Operator ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der globalen Analysis. Es handelt sich um einen Differentialoperator, der eine Quadratwurzel aus dem Laplace-Operator ist. Der ursprüngliche Fall, mit dem sich Paul Dirac beschäftigte, war die formale Faktorisierung eines Operators für den Minkowski-Raum, der die Quantentheorie mit der speziellen Relativitätstheorie verträglich macht.
Definition
Es sei <math>D \in \operatorname{Diff}^1(V,V)</math> ein geometrischer Differentialoperator erster Ordnung, der auf ein Vektorbündel <math>V \to M</math> über einer riemannschen Mannigfaltigkeit <math>M</math> wirkt. Wenn dann
- <math>D^2=\Delta\,</math>
gilt, wobei <math>\Delta</math> ein verallgemeinerter Laplace-Operator auf <math>V</math> ist, so heißt <math>D</math> Dirac-Operator.<ref>Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270-853-3, S. 498</ref>
Geschichte
Ursprünglich hatte Paul Dirac die Wurzel aus dem D’Alembertoperator <math>\square</math> betrachtet und damit die relativistische Quantenfeldtheorie eines Elektrons begründen wollen.
Dirac betrachtete für <math>n=3</math> den Differentialoperator
- <math>\sum_{i=0}^n \gamma_i \frac{\partial}{\partial x_i}\,,</math>
wobei <math>\gamma_i</math> die Dirac-Matrizen sind. Dieser ist jedoch nach heutigem Verständnis kein Dirac-Operator mehr.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
In den 1960ern griffen Michael Francis Atiyah und Isadore M. Singer diesen von Dirac definierten Differentialoperator auf und entwickelten daraus den hier im Artikel hauptsächlich beschriebenen (verallgemeinerten) Dirac-Operator. Der Name Dirac-Operator wurde von Atiyah und Singer geprägt. Der Operator beeinflusste die Mathematik und die mathematische Physik des 20. Jahrhunderts stark.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Dirac-Operator eines Dirac-Bündels
Es sei <math>(M,g)</math> eine riemannsche Mannigfaltigkeit und <math>(\mathcal{E},h,\nabla^{\mathcal{E}})</math> ein Dirac-Bündel, bestehend aus einem Clifford-Modul-Bündel <math>\mathcal{E} \to M</math> einer hermiteschen Metrik <math>h</math> auf <math>\mathcal{E}</math> und einem Clifford-Zusammenhang <math>\nabla^\mathcal{E}</math> auf <math>\mathcal{E}.</math> Dann ist der Operator
- <math>D \colon \Gamma(M, \mathcal{E}) \xrightarrow{\nabla^\mathcal{E}} \Gamma(M,T^*M \otimes \mathcal{E}) \xrightarrow{c} \Gamma(M,\mathcal{E})</math>
der zum Dirac-Bündel <math>(E,h,\nabla^{\mathcal{E}})</math> assoziierte Dirac-Operator. In lokalen Koordinaten hat er die Darstellung
- <math>D = \sum_{i=1}^n c(\mathrm{d} x^i) \nabla_{\partial_i}^\mathcal{E}\,.</math>
Beispiele
Elementares Beispiel
Der Operator <math>-i\partial_x</math> ist ein Dirac-Operator über dem Tangentialbündel von <math>\R.</math>
Spin-Dirac-Operator
Betrachtet werde der Konfigurationsraum eines Teilchens mit Spin 1/2, das auf die Ebene <math>\mathbb R^2</math> beschränkt ist, welche die Basis-Mannigfaltigkeit bildet. Der Zustand wird durch eine Wellenfunktion ψG mit zwei komplexen Komponenten beschrieben, für die also jeweils <math>\mathbb R^2\to \mathbb C \,</math> gelten soll, wobei Gesamtzustände, die sich nur um einen komplexen Faktor unterscheiden, identifiziert werden. Der Gesamtzustand ist also:
- <math>\psi_G=
\begin{bmatrix} \chi_\uparrow (x,y) \\ \eta_\downarrow (x,y) \end{bmatrix}\,. </math> Dabei sind <math>x</math> und <math>y</math> die üblichen kartesischen Koordinaten auf <math>\mathbb R^2:</math> <math>\chi_\uparrow</math> definiert die Wahrscheinlichkeitsamplitude für die aufwärts gerichteten Spin-Komponente (Spin-Up), und analog <math>\eta_\downarrow</math> für die Spin-Down-Komponente. Der sogenannte Spin-Dirac-Operator kann dann geschrieben werden als
- <math>
D=-i\sigma_x\partial_x-i\sigma_y\partial_y, </math> wobei σx und σy die Pauli-Matrizen sind. Man beachte, dass die antikommutativen Beziehungen der Pauli-Matrizen einen Beweis der obigen Definition trivial machen. Diese Beziehungen definieren den Begriff der Clifford-Algebra#Beispiele am Beispiel der Quaternionen-Algebra. Lösungen der Dirac-Gleichung für Spinor-Felder werden oft harmonische Spinoren genannt<ref>D. V. Alekseevskii (originator): Spinor structure. Encyclopedia of Mathematics</ref>.
Hodge-De-Rham-Operator
Sei <math>(M,g)</math> eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit und sei <math>\mathrm{d} \colon \mathcal{A}(M)^{\bullet -1} \to \mathcal{A}^\bullet(M)</math> die äußere Ableitung und <math>\mathrm{d}^t \colon \mathcal{A}^\bullet(M) \to \mathcal{A}^{\bullet -1}(M)</math> der zur äußeren Ableitung bezüglich der L²-Metrik adjungierte Operator. Dann ist
- <math>\mathrm{d} + \mathrm{d}^t \colon \mathcal{A}^\bullet(M) \to \mathcal{A}^\bullet(M)</math>
ein Dirac-Operator.<ref>Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270-853-3, S. 499</ref>
Atiyah-Singer-Dirac-Operator
Es gibt auch einen Dirac-Operator in der Clifford-Analysis. Im n-dimensionalen euklidischen Raum, d. h. für <math>\mathbb R^n \to \mathbb R^n\,,</math> ist das
- <math>D=\sum_{j=1}^{n}e_{j}\frac{\partial}{\partial x_{j}},</math>
wobei
- <math>\{e_{j}:j=1,\ldots, n\}</math>
eine Orthonormalbasis des euklidischen Raumes ist und <math>\mathbb{R}^{n}</math> in eine Clifford-Algebra eingebettet ist. Dies ist ein Spezialfall des Atiyah-Singer-Dirac-Operators, der auf den Schnitten eines Spinor-Bündels wirkt.
Für eine Spin-Mannigfaltigkeit <math>M,</math> ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator lokal folgendermaßen definiert: Für <math>x\in M</math> und <math>e_{1}(x),\ldots,e_{j}(x),</math> eine lokale Orthonormalbasis für den Tangentenraum von <math>M</math> in <math>x,</math> ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator
- <math>\sum_{j=1}^{n}e_{j}(x)\tilde{\Gamma}_{e_{j}(x)},</math>
wobei <math>\tilde{\Gamma}</math> ein Paralleltransport des Levi-Civita-Zusammenhangs auf <math>M</math> für das Spinor-Bündel über <math>M</math> ist.
Eigenschaften
Das Hauptsymbol eines verallgemeinerten Laplace-Operators ist <math>\xi \mapsto \|\xi\|^2.</math> Entsprechend ist das Hauptsymbol eines Dirac-Operators <math>\xi \mapsto \|\xi\|</math> und somit sind beide Klassen von Differentialoperatoren elliptisch.
Verallgemeinerungen
Der Operator <math>D \colon C^\infty(\R^k\otimes \R^n,S)\to C^\infty(\R^k\otimes\R^n,\Complex^k\otimes S),</math> der auf die spinorwertigen Funktionen
- <math>f(x_1,\ldots,x_k)\mapsto
\begin{pmatrix} \partial_{\underline{x_1}}f\\ \partial_{\underline{x_2}}f\\ \ldots\\ \partial_{\underline{x_k}}f\\ \end{pmatrix}</math> wirkt, wird in der Clifford-Analysis oft als Dirac-Operator in <math>k</math> Clifford-Variablen bezeichnet. In dieser Notation ist <math>S</math> der Raum von Spinoren, <math>x_i=(x_{i1},x_{i2},\ldots,x_{in})</math> sind n-dimensionale Variablen und <math>\textstyle \partial_{\underline{x_i}}=\sum_j e_j\cdot \partial_{x_{ij}}</math> ist der Dirac-Operator in der i-ten Variablen. Dies ist eine gebräuchliche Verallgemeinerung des Dirac-Operators (<math>k=1</math>) und der Dolbeault-Kohomologie (<math>n=2,</math> <math>k</math> beliebig). Er ist ein Differentialoperator, der invariant zu der Operation der Gruppe <math>\operatorname{SL}(k)\times \operatorname{Spin}(n)</math> ist. Die injektive Auflösung von <math>D</math> ist nur für einige Spezialfälle bekannt.
Siehe auch
Literatur
- Thomas Friedrich: Dirac Operators in Riemannian Geometry (Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie, 1997). American Mathematical Society, Providence, R.I. 2000, ISBN 978-0-8218-2055-1.
- Fabrizio Colombo, Irene Sabadini: Analysis of Dirac Systems and Computational Algebra (Progress in mathematical physics; Bd. 39). Birkhäuser, Boston, Mass. 2004, ISBN 978-0-8176-4255-6.
Einzelnachweise
<references />