Darstellbarkeit (Kategorientheorie)

Darstellbarkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es beschreibt den Umstand, dass es für gewisse Konstruktionen „klassifizierende Objekte“ gibt.

Definition

Ein kontravarianter Funktor <math>F\colon C \to\mathbf{Set}</math> von einer Kategorie <math>C</math> in die Kategorie der Mengen heißt darstellbar, wenn es ein Paar <math>(X,u)</math> bestehend aus einem Objekt von <math>C</math> und einem Element <math>u\in F(X)</math> gibt, so dass

<math>\mathrm{Hom}_C(T,X)\to F(T),\quad f\mapsto F(f)(u)</math>

für alle Objekte <math>T</math> von <math>C</math> bijektiv ist. Man schreibt dann auch einfach

<math>F(T)=\mathrm{Hom}_C(T,X).</math>

Ein kovarianter Funktor <math>G\colon C\to\mathbf{Set}</math> heißt darstellbar, wenn es ein analoges Paar <math>(X,u)</math> gibt, so dass

<math>\mathrm{Hom}_C(X,T)\to G(T),\quad f\mapsto G(f)(u)</math>

bijektiv ist.

Weitere Bezeichnungen:

Für ein Element von <math>F(T)</math> heißt der entsprechende Morphismus <math>T\to X</math> auch klassifizierender Morphismus.
<math>X</math> heißt darstellendes Objekt, auch wenn durch <math>X</math> selbst die natürliche Äquivalenz

<math>F\cong\mathrm{Hom}_C({-},X)</math> bzw. <math>G\cong\mathrm{Hom}_C(X,{-})</math>

noch nicht festgelegt ist.

<math>u</math> wird oft universell genannt, weil jedes Element von <math>F(T)</math> für irgendein Objekt <math>T</math> Bild von <math>u</math> unter <math>F(f)</math> mit einem geeigneten Morphismus

<math>f\colon T\to X</math>

ist. (Analoges gilt im Fall kovarianter Funktoren.)

Eigenschaften

Wird ein kontravarianter Funktor <math>F</math> wie oben einerseits durch <math>(X_1,u_1)</math>, andererseits aber auch durch <math>X_2,u_2</math> dargestellt, so gibt es genau einen Isomorphismus <math>i\colon X_1\to X_2</math>, für den <math>F(i)(u_2) = u_1</math> gilt. Er ist der klassifizierende Morphismus von <math>u_1\in F(X_1)</math> bezüglich <math>(X_2,u_2)</math>.
Darstellbare Funktoren sind linksexakt, d. h.

<math>F(\mathrm{colim}\, X_i) \,=\, \lim F(X_i)</math> bzw. <math>G(\lim X_i) \,=\, \lim G(X_i)</math>.

Beispiele

Die Bildung der Potenzmenge <math>\mathcal P(T)</math> einer Menge <math>T</math> kann als kontravarianter Funktor <math>{\mathcal P}\colon \mathbf{Set}\to\mathbf{Set}</math> betrachtet werden: für eine Abbildung <math>f\colon T\to S</math> von Mengen sei die induzierte Abbildung <math>\mathcal P(f): \mathcal P(S)\to\mathcal P(T)</math> das Urbild von Teilmengen: <math> {\mathcal P}(f)(U) = f^{-1}(U)</math>.

Dieser Funktor wird durch das Paar <math>(\{0,1\},\{1\})</math> dargestellt, denn ist <math>T</math> ein Objekt, das heißt eine Menge, so ist <math>\mathrm{Hom}(T,\{0,1\})\rightarrow {\mathcal P}(T),\, f\mapsto {\mathcal P}(f)(\{1\})=f^{-1}(\{1\})</math> bijektiv. Die klassifizierende Abbildung einer Teilmenge <math>U\subseteq T</math> ist also die charakteristische Funktion <math>\chi_U</math> von <math>U</math>, denn <math>\chi_U^{-1}(\{1\}) = U</math>.

Die folgenden Vergissfunktoren sind darstellbar:

von	nach	dargestellt durch
Abelsche Gruppen	Mengen	<math>(\mathbb Z,1)</math>
Vektorräume über einem Körper <math>K</math>	Mengen	<math>(K,1)</math>
unitäre Ringe	Mengen	<math>(\mathbb Z[T],T)</math>
Topologische Räume	Mengen	<math>(,)</math> (ein einpunktiger Raum)

Ein Beispiel aus der kommutativen Algebra bilden die Kähler-Differentiale mit der universellen Derivation.
Die Fundamentalgruppe eines punktierten topologischen Raumes ist per definitionem ein darstellbarer Funktor auf der Kategorie der punktierten topologischen Räume mit den Homotopieklassen punktierter Abbildungen als Morphismen:

Die erste Kohomologiegruppe <math>H^1(X,\mathbb Z)</math> mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen ist ein kontravarianter Funktor, der durch die 1-Sphäre <math>S^1</math> zusammen mit einem der beiden Erzeuger von

<math>H^1(S^1,\mathbb Z)\cong\mathbb Z</math>

dargestellt wird. Allgemein gibt es darstellende Räume <math>K(\pi,n)</math> für die Funktoren <math>H^n({-},\pi)</math> für beliebige abelsche Gruppen <math>\pi</math> und natürliche Zahlen <math>n</math>. Sie heißen Eilenberg-MacLane-Räume.

Siehe auch

Oben vorgestellte Abbildungen der Form <math>\mathrm{Hom}_C(T,X)\to F(T), f\mapsto F(f)(u)</math> kommen auch beim Yoneda-Lemma vor.