Punktierter topologischer Raum

Ein punktierter topologischer Raum ist ein Paar (X,x₀), bestehend aus einem topologischen Raum X und einem Punkt x₀ in X (Grundpunkt, Basispunkt, ausgezeichneter Punkt). Eine punktierte (stetige) Abbildung (X,x₀) → (Y,y₀) ist eine stetige Abbildung X → Y, die x₀ auf y₀ abbildet.

Häufig wird der Grundpunkt auch einfach mit einem Stern bezeichnet.

Ist die Inklusion <math>\{x_0\} \hookrightarrow X</math> eine Kofaserung, so spricht man von einem wohlpunktierten Raum.<ref>Jon P. May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago IL u. a. 1999, ISBN 0-226-51183-9, Abschnitt 8.3.</ref>

Ein topologischer Raum heißt homogen, wenn je zwei punktierte topologische Räume auf ihm isomorph sind.

Kategorielle Eigenschaften

Die Kategorie der punktierten topologischen Räume ist isomorph zur Kommakategorie <math>\{\star\} \downarrow \operatorname{Top}</math>. Sie besitzt Nullobjekte (diejenigen Räume, welche nur aus dem einen Punkt bestehen). Produkte sind die gewöhnlichen Produkte topologischer Räume, Koprodukte sind Ein-Punkt-Vereinigungen, also disjunkte Vereinigungen, bei denen die jeweiligen ausgezeichneten Punkte miteinander identifiziert werden, geschrieben <math>X\vee Y</math>.

Homotopieklassen punktierter Abbildungen

Zwei punktierte Abbildungen

<math>f,g\colon (X,x_0)\to(Y,y_0)</math>

heißen homotop, wenn es eine stetige Abbildung <math>H\colon X\times\left[0,1\right]\to Y</math> mit

<math>H(x,0)=f(x), H(x,1)=g(x)\ \forall x\in X</math>

<math>H(x_0,t)=y_0\ \forall t\in\left[0,1\right]</math>

gibt. Die Menge der Homotopieklassen punktierter Abbildungen wird mit <math>\left[X,Y\right]</math> bezeichnet.

Einzelnachweise