Wedge-Produkt (Topologie)
Mit dem Wedge-Produkt (nach wedge engl. Keil; auch Einpunktvereinigung oder Bouquet genannt) <math>X\vee Y</math> zweier punktierter topologischer Räume <math>X</math> und <math>Y</math> bezeichnet man ihre disjunkte Vereinigung, die an einem Punkt (dem Basispunkt) verklebt ist. Formal ist die Definition wie folgt:
- <math>X\vee Y = (X\amalg Y)/(pt\amalg pt)</math>
Hierbei bezeichnet <math>pt</math> den jeweiligen Basispunkt.
Die Konstruktion kann man auch auf eine beliebige Menge von Räumen verallgemeinern:
- <math>\bigvee_{i\in I}X_i = \left(\coprod_{i\in I}X_i\right)/\left(\coprod_{i\in I} pt_i\right)</math>
Abstrakter kann man das Wedge-Produkt als das Koprodukt in der Kategorie der punktierten topologischen Räume auffassen.
Rolle in der algebraischen Topologie
Das Wedge-Produkt verhält sich gut bezüglich einiger Funktoren in der algebraischen Topologie. Zum Beispiel gilt für die Fundamentalgruppe für lokal kontrahierbare Räume <math>X_i</math>
- <math>\pi_1\left(\bigvee_{i\in I}X_i\right) = \mathop{*}_{i \in I} \pi_1(X_i),</math>
wobei <math>*</math> das freie Produkt der Gruppen bezeichnet.
In der singulären Homologie gilt:
- <math>H_n\left(\bigvee_{i\in I}X_i,pt\right) = \bigoplus_{i\in I} H_n(X_i, pt)</math>
Man kann das Wedge-Produkt <math>X\vee Y</math> auf naheliegende Weise in das Produkt <math>X\times Y</math> einbetten, der Quotient
- <math>X\wedge Y:= X\times Y/X\vee Y</math>
ist das Smash-Produkt.
Insbesondere ist <math>\Sigma X:=S^1\wedge X</math> die reduzierte Einhängung, von Bedeutung in der stabilen Homotopietheorie.
Das Wedge-Produkt wird auch in der Definition der Verknüpfung in den Homotopiegruppen verwendet.
Literatur
- Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press 2002