Lemma von Yoneda

Das Lemma von Yoneda, nach Nobuo Yoneda, ist eine mathematische Aussage aus dem Teilgebiet der Kategorientheorie. Es beschreibt die Menge der natürlichen Transformationen zwischen einem Hom-Funktor und einem weiteren Funktor.

Das Yoneda-Lemma erlaubt es, Begriffe, die aus der Kategorie der Mengen geläufig sind, auf beliebige Kategorien zu übertragen.

Motivation

Es sei <math>\mathbf{Set}</math> die Kategorie der Mengen (mit den üblichen Funktionen als Morphismen). Es sei <math>{\mathcal C}</math> eine lokal kleine Kategorie, so dass zu je zwei Objekten <math>X,Y \in \mathcal C</math> die Morphismen zwischen <math>X</math> und <math>Y</math> eine Menge und somit ein Objekt in <math>\mathbf{Set}</math> bilden. Für jedes Objekt <math>X</math> der Kategorie <math>{\mathcal C}</math> hat man den partiellen Hom-Funktor <math>H^X\colon {\mathcal C}\rightarrow \mathbf{Set}</math>, der für Objekte <math>Y\in \mbox{Ob}({\mathcal C})</math> und Morphismen <math>(f\colon Y\rightarrow Z) \in \mbox{Mor}({\mathcal C})</math> wie folgt definiert ist:

• <math>H^X(Y) := \mbox{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)</math>, wobei <math>\mbox{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)</math> eine in diesem Zusammenhang übliche alternative Schreibweise für <math>\mbox{Mor}_{\mathcal C}(X,Y)</math> ist.
• <math>H^X(f)\colon H^X(Y)\rightarrow H^X(Z), \, g\mapsto f\circ g</math>.

Sei nun <math>T</math> ein weiterer Funktor von <math>{\mathcal C}</math> nach <math>\mathbf{Set}</math>. Man kann nun die Frage stellen, welche natürlichen Transformationen zwischen den Funktoren <math>H^X</math> und <math>T</math> bestehen. Hier gibt das folgende Yoneda-Lemma eine Antwort.

Aussage

Sind <math>T\colon{\mathcal C}\rightarrow \mbox{Set}</math> ein Funktor und <math>X</math> ein Objekt aus <math>{\mathcal C}</math>, so ist <math>\eta \mapsto \eta_X(\mbox{id}_X)</math> eine Bijektion von der Menge aller natürlichen Transformationen <math>\eta\colon H^X\rightarrow T</math> in die Menge <math>T(X)</math>.

Dazu beachte man, dass eine natürliche Transformation <math>\eta\colon H^X\rightarrow T</math> definitionsgemäß jedem Objekt <math>Y</math> aus <math>{\mathcal C}</math> einen Morphismus <math>\eta_Y\colon H^X(Y)\rightarrow T(Y)</math> zuordnet, wobei gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind (siehe natürliche Transformation). Insbesondere hat man einen Morphismus <math>\eta_X\colon H^X(X)\rightarrow T(X)</math> in der Kategorie Set (das heißt einfach eine Abbildung), also kann man tatsächlich <math>\eta_X(\mbox{id}_X)</math> wie in obigem Lemma bilden und erhält ein Element aus <math>T(X)</math>. Daher ist die Abbildung <math>{\mathcal Y}\colon \eta \mapsto \eta_X(\mbox{id}_X)</math> wohldefiniert; man nennt sie auch die Yoneda-Abbildung oder den Yoneda-Isomorphismus.

Der Beweis ist einfach und beleuchtet die Situation im Yoneda-Lemma; daher wird er hier wiedergegeben: Ist <math>\eta\colon H^X\rightarrow T</math> eine natürliche Transformation, <math>Y</math> ein Objekt aus <math>{\mathcal C}</math> und <math>f\in H^X(Y)</math>, das heißt <math>f</math> ist ein <math>{\mathcal C}</math>-Morphismus <math>X\rightarrow Y</math>, so ist das folgende Diagramm nach Definition der natürlichen Transformation kommutativ:

<math>

 \begin{array}{ccc} 
   H^X(X)=\mbox{Hom}(X,X) & \stackrel{\eta_X}{\longrightarrow} & T(X)\\
   \downarrow_{H^X(f)} & &  \downarrow_{T(f)}\\
   H^X(Y)=\mbox{Hom}(X,Y) & \stackrel{\eta_Y}{\longrightarrow} & T(Y)
 \end{array}

</math>

Daraus ergibt sich <math>\eta_Y(f) = \eta_Y(f\circ \mbox{id}_X) = (\eta_Y\circ H^X(f))(\mbox{id}_X) = (T(f)\circ \eta_X)(\mbox{id}_X) = T(f)(\eta_X(\mbox{id}_X)) </math>.

Daher ist <math>\eta_Y</math> durch <math>T</math> und <math>\eta_X(\mbox{id}_X)</math> bereits eindeutig festgelegt, woraus sich die Injektivität der Yoneda-Abbildung ergibt. Diese Formel wird auch zur Surjektivität herangezogen. Ist nämlich <math>w \in T(X)</math>, so definiere man für jedes Objekt <math>Y</math> aus <math>{\mathcal C}</math> die Abbildung <math>\eta_Y\colon H^X(Y)\rightarrow T(Y)</math> durch <math>\eta_Y(f)\,:=\,T(f)(w)</math>. Dann kann man nachrechnen, dass dadurch eine natürliche Transformation <math>\eta</math> von <math>H^X</math> nach <math>T</math> definiert wird, die unter der Yoneda-Abbildung auf <math>w</math> abgebildet wird.

Bemerkungen

• Insbesondere zeigt das Yoneda-Lemma, dass die natürlichen Transformationen zwischen Funktoren <math>H^X</math> und <math>T</math> eine Menge bilden, denn die Klasse der natürlichen Transformationen zwischen <math>H^X</math> und <math>T</math> steht in bijektiver Beziehung zu einer Menge, nämlich <math>T(X)</math>, und ist daher selbst eine.
• Abbildungen der oben vorgestellten Art <math>\eta_Y\colon H^X(Y)\rightarrow T(Y), \eta_Y(f)\,:=\,T(f)(w)</math> führen zum Begriff der Darstellbarkeit von Funktoren.
• Hat man zusätzliche Strukturen auf den Morphismenmengen (angereicherte Kategorien), wie zum Beispiel im Falle abelscher Kategorien, so ersetzt man die Zielkategorie Set des Hom-Funktors gerne durch eine entsprechende Kategorie, etwa durch die Kategorie Ab der abelschen Gruppen. Um dann wieder auf die hier betrachtete Situation zu kommen, hat man lediglich den Vergissfunktor <math>\mbox{Ab}\rightarrow \mbox{Set}</math> hinterzuschalten.

Yoneda-Einbettung

Als eine einfache Anwendung des Yoneda-Lemmas wird hier die Yoneda-Einbettung behandelt. Die Yoneda-Einbettung wird in der Definition der Ind-Objekte und Pro-Objekte verwendet.

Ist <math>{\mathcal C}</math> eine lokal kleine Kategorie, so bezeichne <math>[{\mathcal C},\mbox{Set}]</math> die Kategorie der Funktoren <math>H^X</math> mit den natürlichen Transformationen als Morphismen. Man beachte dazu, dass die natürlichen Transformationen zwischen zwei Funktoren <math>H^X</math> und <math>H^Y</math> nach dem Yoneda-Lemma eine Menge bilden, es liegt also tatsächlich eine Kategorie vor. Weiter sei mit <math>{\mathcal C}^{op}</math> die duale Kategorie bezeichnet. In dieser Situation definiere man den Funktor <math>H^*\colon{\mathcal C}^{op}\rightarrow [{\mathcal C},\mbox{Set}]</math> durch folgende Daten:

• <math> H^*(X) := H^X </math>, die Funktoren <math>H^X</math> sind die Objekte in <math>[{\mathcal C},\mbox{Set}]</math>.
• Für einen Morphismus <math>f\colon X\rightarrow Y</math> sei <math>H^*(f)\colon H^X \rightarrow H^Y</math> definiert durch <math>H^*(f)_Z\colon H^X(Z)\rightarrow H^Y(Z),\, g\mapsto g\circ f</math>, wobei <math>Z\in \mbox{Ob}({\mathcal C})</math>. Dann ist <math>H^*(f)</math> eine natürliche Transformation, also ein Morphismus in <math>[{\mathcal C},\mbox{Set}]</math>.

Leicht prüft man nach, dass hierdurch tatsächlich ein Funktor <math>H^*\colon{\mathcal C}^{op}\rightarrow [{\mathcal C},\mbox{Set}]</math> definiert ist. Dabei ist auf der linken Seite die duale Kategorie gewählt, da sonst <math>f</math> „in die falsche Richtung“ laufen würde. Es gilt nun

• Yoneda-Einbettung: Der Funktor <math>H^*\colon{\mathcal C}^{op}\rightarrow [{\mathcal C},\mbox{Set}]</math> ist eine volltreue Einbettung.

Vertauscht man die Rollen von <math>{\mathcal C}</math> und <math>{\mathcal C}^{op}</math>, so erhält man eine volltreue Einbettung <math>{\mathcal C} \rightarrow [{\mathcal C}^{op},\mbox{Set}]</math>.

Der Beweis besteht in einer Anwendung des Yoneda-Lemmas. Zur Volltreue muss gezeigt werden, dass die Abbildungen

<math>H^*_{X,Y}\colon \mbox{Mor}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y) \rightarrow \mbox{Mor}_{[{\mathcal C},\mbox{Set}]}(H^*X, H^*Y),\, f\mapsto H^*(f)</math>

bijektiv sind. Für <math>\eta \in \mbox{Mor}_{[{\mathcal C},\mbox{Set}]}(H^*X,H^*Y)</math>, das heißt für eine natürliche Transformation <math>\eta\colon H^X\rightarrow H^Y</math>, ist <math>{\mathcal Y}(\eta) \in H^Y(X) = \mbox{Hom}_{\mathcal C}(Y,X) = \mbox{Hom}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y) </math>, das heißt die Yoneda-Abbildung definiert eine Abbildung

<math> {\mathcal Y}_{X,Y}: \mbox{Mor}_{[{\mathcal C},\mbox{Set}]}(H^*X,H^*Y) \rightarrow \mbox{Mor}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y), \eta \mapsto \eta_X(\mbox{id}_X) </math>.

Da diese Abbildung nach dem Yoneda-Lemma bijektiv ist, und weil für alle <math>f\in \mbox{Mor}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y) </math> folgendes gilt: <math>{\mathcal Y}_{X,Y}H^*_{X,Y}(f) = {\mathcal Y}_{X,Y}(H^*(f)) = H^*(f)_X(\mbox{id}_X) = \mbox{id}_X \circ f = f</math>,

ist <math>H^*_{X,Y}={\mathcal Y}_{X,Y}^{-1}</math> und daher ebenfalls bijektiv. Deshalb ist <math>H^*</math> volltreu.

Um einzusehen, dass <math>H^*</math> sogar eine Einbettung ist, muss die Injektivität des Funktors auf der Klasse der Objekte gezeigt werden (siehe Artikel treuer Funktor). Sind <math>X</math> und <math>Y</math> zwei verschiedene Objekte aus <math>\mbox{Ob}({\mathcal C}^{op}) </math>, so gilt <math>\mbox{Hom}_{\mathcal C}(X,X) \cap \mbox{Hom}_{\mathcal C}(Y,X) = \emptyset </math>, weil ein Morphismus nicht zwei verschiedene Definitionsbereiche haben kann, und daraus folgt <math>H^X\not=H^Y</math>, das heißt <math>H^*(X)\not=H^*(Y)</math>. Daher ist <math>H^*</math> auch eine Einbettung.

Literatur

• Horst Schubert: Kategorien (Heidelberger Taschenbücher; Bd. 15–16). Springer, Berlin 1970 (2 Bde.).