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Kommutative Algebra

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Die kommutative Algebra ist das Teilgebiet der Mathematik im Bereich der Algebra, das sich mit kommutativen Ringen sowie deren Idealen, Moduln und Algebren befasst. Sie ist grundlegend für die Gebiete der algebraischen Geometrie und der algebraischen Zahlentheorie. Ein wichtiges Beispiel für kommutative Ringe sind Polynomringe.

Als Begründer der kommutativen Algebra kann man David Hilbert nennen.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Er scheint die Idealtheorie (so wurde die kommutative Algebra ursprünglich genannt) als alternativen Zugang zu zahlreichen Fragestellungen angesehen zu haben, der die damals dominierende Funktionentheorie ablösen könnte. In diesem Zusammenhang waren ihm strukturelle Aspekte wichtiger als algorithmische; mit der wachsenden Leistungsfähigkeit von Computeralgebrasystemen haben aber konkrete Berechnungen stark an Bedeutung innerhalb der kommutativen Algebra gewonnen.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Das Konzept der Moduln, das in Grundzügen auf Leopold Kronecker zurückgeht, verallgemeinert die Theorie der Ideale, die es als Spezialfall enthält. Diese Methoden wurden von Emmy Noether in die kommutative Algebra eingeführt und sind heute unverzichtbar.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Noémie Combe|Noémie Combe: }}{{#if:|{{#if:"Without Emmy Noether, there would be a huge gap in mathematics and its understanding"|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel="Without Emmy Noether, there would be a huge gap in mathematics and its understanding"}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.mpg.de/16548098/emmy-noether%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1="Without Emmy Noether, there would be a huge gap in mathematics and its understanding"}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.mpg.de/16548098/emmy-noether}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1="Without Emmy Noether, there would be a huge gap in mathematics and its understanding"}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Max-Planck-Gesellschaft{{#if: 2022-10-28 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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Die Theorie allgemeiner Ringe, die nicht kommutativ sein müssen, wird als nichtkommutative Algebra bezeichnet.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Übliche Annahmen

In der kommutativen Algebra werden die Bezeichnungen Modul, Ring und Algebra üblicherweise in einem engeren Sinn benutzt:

  • Alle Moduln sind unitär: Wenn <math>1</math> das Einselement des Ringes ist, dann gilt für alle Elemente des Moduls:
<math>1 \cdot m = m</math>

Literatur

Skripte

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Lehrwerke & Monografien

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  • Michael F. Atiyah, Ian G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading MA 1969, ISBN 0-201-00361-9.
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Einzelnachweise

<references />

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