Binomische Reihe

Die binomische Reihe oder Binomialreihe ist eine Potenzreihe der Form

<math>\sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k} x^k = 1 + \alpha \, x +\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^{2}+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{2\cdot 3}x^3+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)}{2\cdot 3\cdot 4}x^4 + \dotsb \ </math>,

wobei <math>\alpha \in \mathbb{C}</math>. Ihre Koeffizienten <math>\tbinom{\alpha}{k}</math> sind die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten der Analysis.<ref name=Amann2006 >{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Man erhält die binomische Reihe als (formale) Taylorentwicklung der Funktion <math>f(x)=(1+x)^\alpha</math> mit Entwicklungspunkt <math>x_0=0</math>.

Konvergenz

Das Konvergenzverhalten der binomischen Reihe hängt vom Exponenten <math>\alpha</math> und den Werten für <math>x</math> ab.

Natürliche Exponenten

Ist <math>\alpha</math> eine natürliche Zahl, so bricht die Reihe nach dem Glied mit <math>k = \alpha</math> ab, da <math>\tbinom \alpha k = 0</math> für alle <math>k>\alpha</math> gilt. Somit handelt es sich dann um ein (endliches) Polynom. Für jedes <math>x</math> gilt dem binomischen Lehrsatz zufolge

<math>\sum_{k=0}^\alpha \binom{\alpha}{k} x^k=(x+1)^\alpha</math>.

Nicht-natürliche Exponenten

Falls <math>\alpha \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{N}</math>, so handelt es sich um eine „echte“ (d. h. unendliche) Reihe. Die binomische Reihe konvergiert dann für alle <math>x</math> mit <math>|x|<1</math> gegen die Funktion, aus der sie entwickelt wurde:<ref name="Amann2006" />

<math>\sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k} x^k = (1+x)^\alpha</math>.

Verallgemeinerung

Etwas allgemeiner kann man für <math>a>0</math> die folgende Reihe betrachten:

<math>\sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k} x^k a^{\alpha-k}</math>

Diese konvergiert für <math>|\tfrac{x}{a}|<1</math> und entspricht dann der Funktion <math>f(x) = (a+x)^\alpha</math>.<ref name="weisstein">{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Binomial Series. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}</ref>

Dieses Ergebnis erhält man, indem man das Binom <math>(a+x)</math> schreibt als <math>(a+x) = a(1+ x/a )</math> und darauf die obige Formel anwendet.

Geschichte

Vermutlich wurde die Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form <math>(a+b)^n</math>, bereits vom persischen Mathematiker Omar Chayyām (1048–1131) entdeckt. Einige Mathematiker vermuten, dass sie aufgrund seiner Kenntnis der Berechnung von Binomialkoeffizienten auch dem chinesischen Mathematiker Zhu Shijie (1260–1320) bekannt war.<ref name="JLC"> J. L. Coolidge: The Story of the Binomial Theorem. In: The American Mathematical Monthly, März 1949, Band 56, Nr. 3, S. 147–157 (JSTOR)</ref>

Isaac Newton entdeckte im Jahre 1669, dass sich die Formel <math display="inline">\sum_{k=0}^\alpha \tbinom{\alpha}{k} x^k=(x+1)^\alpha</math> auf rationale <math>\alpha</math> ausdehnen lässt, lieferte jedoch nie einen Beweis für diese Aussage. Zudem untersuchte er nicht, für welche <math>x</math> die Reihe konvergiert und damit die Gleichheit gilt. Für ihn gab es genug numerische und experimentelle Evidenz, um von ihrer Richtigkeit überzeugt zu sein.<ref name=Sonar2016>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Niels Henrik Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe <math>\alpha, x\in\mathbb C</math>. Er befasste sich mit Fragen der Konvergenz und bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls <math>\alpha\in\mathbb C\setminus\mathbb N_0</math> gilt.<ref name="JLC"/>

Spezialfälle

Geometrische Reihe

Für <math>\alpha=-1</math> erhält man

<math>\frac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^\infty \binom{-1}{k} x^k = \sum_{k=0}^\infty (-1)^kx^k = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 \pm \dotsb \,</math>.

Ersetzt man noch <math>x</math> durch <math>-x</math>, so folgt hieraus die bekannte Darstellung der geometrischen Reihe:

<math>\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^\infty x^k = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \dotsb \,</math>.

Reihenentwicklungen für Wurzelausdrücke

Für <math>\alpha = 1/2</math> erhält man

<math>\sqrt{1+x} = \sum_{k=0}^\infty \binom{1/2}{k} x^k = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2\cdot 4}x^2 + \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4 \cdot 6}x^3 - \frac{1\cdot 3 \cdot 5}{2\cdot 4 \cdot 6\cdot 8}x^4 \pm \dotsb</math>.

Diese Formel wurde schon von Henry Briggs bei der Berechnung seiner Logarithmen entdeckt.<ref name=Sonar2016 /> Hiermit eng verwandt ist die Formel, die man für <math>\alpha = -1/2</math> erhält:

<math>\frac{1}{\sqrt{1-x}} =\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \binom{-1/2}{k} x^k = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}x^2 + \frac{1\cdot 3 \cdot 5}{2\cdot 4 \cdot 6}x^3 + \frac{1\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2\cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}x^4 +\dotsb</math>.

Literatur

• Otto Forster: Analysis. Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 12. Aufl., Springer, Wiesbaden 2016, ISBN 3-528-67224-2, S. 293–300.
• Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1. 4. Aufl., Springer, Berlin / Heidelberg 1971, ISBN 3-540-05466-9, S. 298–306.
• Dietmar Herrmann: Mathematik der Neuzeit: Geschichte der Mathematik in Europa von Vieta bis Euler. Springer Spektrum. Berlin 2022, ISBN 978-3-662-65416-3, Kapitel 12.5 Die Entwicklung der binomischen Reihe. S. 354–357-

Einzelnachweise

<references />