Bewertung (Algebra)

Bewertungen von Körpern sind in der Körpertheorie, einem Gebiet der Algebra, von Bedeutung. Nicht-archimedische p-adische Bewertungen werden für die Konstruktion der p-adischen Zahlen verwendet und sind damit grundlegend für die p-adische Geometrie. In älteren Zugängen zur algebraischen Geometrie wurden auch Bewertungen von Funktionenkörpern verwendet.

Bewertungen

Eine Bewertung eines Körpers <math>K</math> ist eine Funktion <math>\varphi \colon K \to P</math> in einen angeordneten Körper <math>P</math> mit den Eigenschaften<ref>Waerden, op. cit., S. 200</ref><ref>Neukirch, op. cit., S. 121</ref><ref>Heinz-Dieter Ebbinghaus et al.: Zahlen. 2. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 1988, Kapitel 4. S. 65</ref>

<math>\varphi(x) \ge 0</math> und <math>\varphi(x) = 0 \iff x=0</math>
<math>\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)</math>
<math>\varphi(x+y)\le \varphi(x)+\varphi(y)</math>

Ein Beispiel einer Bewertung ist die Betragsfunktion <math>| x |</math> auf den reellen oder komplexen Zahlen mit der Signatur <math>| \cdot| \colon \mathbb{C} \to \mathbb{R}</math>. Eine Bewertung <math>| \cdot| \colon K \to \mathbb{R}</math> heißt nicht-archimedisch, wenn <math>|n| \le 1</math> für <math>n \in \mathbb{N}</math>. Eine Bewertung ist genau dann nicht-archimedisch, wenn sie die verschärfte Dreiecksungleichung erfüllt. In der Zahlentheorie werden heute aber meist die weiter unten definierten nicht-archimedischen Exponentialbewertungen gemeint, wenn von „Bewertungen“ die Rede ist.

Allgemeine Bewertungen (Exponenentialbewertungen)

Definition

Ist <math>G</math> eine totalgeordnete abelsche Gruppe und <math>K</math> ein (kommutativer) Körper, so ist eine Abbildung

<math>v\colon K\to G\cup\{\infty\}</math>

eine nicht-archimedische Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

<math>v(ab)=v(a)+v(b)</math>
<math>v(a)=\infty\iff a=0</math>
<math>v(a+b)\geq\min\{v(a),v(b)\}</math>

für alle <math>a,b\in K</math>.

<math>K</math> heißt dann auch ein bewerteter Körper mit Wertegruppe <math>v(K^\times)\subseteq G</math>.

Zwei Bewertungen <math>v_1</math> und <math>v_2</math> heißen äquivalent, wenn <math>v_1(a)<1\Longleftrightarrow v_2(a)<1</math> gilt. Äquivalenzklassen von Bewertungen werden auch als Stellen eines gegebenen Körpers bezeichnet.

Bewertungen und Bewertungsringe

Ein Integritätsbereich <math>A</math> heißt Bewertungsring, wenn er die folgende Eigenschaft hat:

Für jedes Element <math>x</math> des Quotientenkörpers von <math>A</math> gilt <math>x\in A</math> oder <math>x^{-1}\in A</math>.

Ist <math>A</math> ein Bewertungsring mit Quotientenkörper <math>K</math>, so kann man eine Bewertung auf <math>K</math> mit Wertegruppe <math>G=K^\times/A^\times</math> definieren:

<math>v\colon K\to G\cup\{\infty\},\quad v(x)=\left\{\begin{matrix}\infty&x=0\\{}[x]&x\in K^\times;\end{matrix}\right.</math>

dabei bezeichnet <math>[x]</math> das Bild von <math>x</math> in <math>G=K^\times/A^\times</math>; die Ordnung auf <math>G</math> ist definiert durch

<math>[x]\geq[y]\iff xy^{-1}\in A</math> für <math>x,y\in K^\times.</math>

Ist umgekehrt <math>K</math> ein bewerteter Körper mit Bewertung <math>v</math>, so ist

ein Bewertungsring, der dann auch der Bewertungsring zur Bewertung <math>v</math> genannt wird. Die Gruppe <math>K^\times/A^\times</math> ist kanonisch isomorph zur Wertegruppe von <math>v</math>.

Für einen Körper <math>K</math> gibt es also eine bijektive Beziehung zwischen Isomorphieklassen von Bewertungen auf <math>K</math> und Bewertungsringen, die in <math>K</math> enthalten sind.

Diskrete Bewertungen

Definition

Es sei <math>K</math> ein Körper. Dann heißt eine surjektive Funktion

<math>v\colon K\to\mathbb Z\cup\{\infty\}</math>

eine diskrete Bewertung, Exponentialbewertung oder nicht-archimedische Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

<math>v(ab)=v(a)+v(b)</math>
<math>v(a)=\infty\iff a=0</math>
<math>v(a+b)\geq\min\{v(a),v(b)\}</math>

für alle <math>a,b\in K</math>. <math>K</math> zusammen mit <math>v</math> heißt diskret bewerteter Körper.

Beispiele

die <math>p</math>-Bewertung auf den rationalen Zahlen für eine Primzahl <math>p</math>
die Nullstellen- bzw. Polordnung meromorpher Funktionen in einem festen Punkt

Diskrete Bewertungen und diskrete Bewertungsringe

Die Teilmenge

<math>A := \left\{x\in K\mid v(x)\geq0\right\}</math>

bildet einen Unterring von <math>K</math>, den Bewertungsring von <math>v</math>. Er ist ein diskreter Bewertungsring mit einem maximalen Ideal <math>\mathfrak m := \{x \mid x \in K, v(x) > 0\}</math>, welches Hauptideal ist.

Ist umgekehrt <math>(A,\mathfrak m)</math> ein diskreter Bewertungsring, so ist durch

<math>v(x)=\sup\left\{k\in\mathbb Z\mid x\in\mathfrak m^k\right\}</math>

eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper von <math>A</math> definiert.

Diskrete Bewertungsringe und diskret bewertete Körper entsprechen einander.

p-Bewertung

Es sei <math>p</math> eine Primzahl.

Die <math>p</math>-Bewertung (auch: die <math>p</math>-adische Bewertung oder der <math>p</math>-Exponent) <math>v_p(n)</math> einer natürlichen oder ganzen Zahl <math>n</math> ist die größte Zahl <math>k</math>, so dass <math>n</math> noch durch <math>p^k</math> teilbar ist. Die <math>p</math>-Bewertung gibt an, wie oft eine Primzahl <math>p</math> in der Primfaktorzerlegung einer natürlichen oder ganzen Zahl vorkommt.

Ist

so ist

<math>v_{p_1}(n) = a_1,\quad v_{p_2}(n) = a_2,\quad\ldots,\quad v_{p_k}(n) = a_k.</math>

Tritt eine Primzahl <math>p</math> nicht in der Primfaktorzerlegung von <math>n</math> auf, dann ist <math>v_p(n) = 0</math>.

Man setzt <math>v_p(0) = \infty</math>, weil jede Potenz jeder Primzahl die 0 teilt.

Die <math>p</math>-Bewertung einer ganzen Zahl ist die ihres Betrags.

Die <math>p</math>-Bewertung einer rationalen Zahl ist die Differenz der <math>p</math>-Bewertungen des Zählers und des Nenners: Für eine rationale Zahl <math>r = \tfrac{m}{n}</math> mit <math>m,n\in\mathbb Z</math> ist also

Geht p nur im Nenner des (vollständig gekürzten) Bruchs <math>m/n</math> auf, ist <math>v_p(r)</math> also eine negative Zahl.

Die <math>p</math>-Bewertung rationaler Zahlen spielt eine wichtige Rolle bei einer Konstruktionsart der p-adischen Zahlen: die Funktion

<math>r\mapsto p^{-v_p(r)}</math>

bildet auf den rationalen Zahlen einen nichtarchimedischen Betrag.

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p-ganze und S-ganze Zahlen

Eine <math>p</math>-ganze Zahl (auch "<math>p</math>-adisch ganze Zahl" oder "für <math>p</math> ganze Zahl") ist eine rationale Zahl, die nichtnegative {{#if:trim|<math>p</math>-Bewertung}} hat, d. h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nicht durch <math>p</math> teilbar ist. Rationale Zahlen, die nicht <math>p</math>-ganz sind, werden manchmal auch "<math>p</math>-gebrochen" genannt.

Die Menge aller <math>p</math>-ganzen Zahlen ist ein Unterring von <math>\mathbb Q</math>, der <math>\mathbb Z_{(p)}</math> geschrieben wird. <math>\mathbb Z_{(p)}</math> ist ein diskreter Bewertungsring, insbesondere gibt es bis auf Assoziierte genau ein irreduzibles Element, nämlich <math>p</math>.

Ist allgemeiner <math>S</math> eine Menge von Primzahlen, so ist eine <math>S</math>-ganze Zahl eine rationale Zahl, die <math>p</math>-ganz für jedes <math>p\notin S</math> ist (!), d. h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nur durch Primzahlen aus <math>S</math> teilbar ist. Die Menge der <math>S</math>-ganzen Zahlen bildet einen Unterring <math>\mathbb Z_S</math> von <math>\mathbb Q</math>.

Beispiele

Für <math>S=\empty</math> ist <math>\Z_S=\Z</math>.
Für eine Primzahl <math>p\in \mathbb P</math> und <math>S=\mathbb P \setminus \{p\}</math> ist {{#if:trim|}} der diskrete Bewertungsring der <math>p</math>-ganzen Zahlen.
Für <math>S=\{2,5\}</math> ist <math>\Z_S</math> der Ring der abbrechenden (durch eine endliche Ziffernfolge darstellbaren) Dezimalbrüche.

Verallgemeinerungen

Der Begriff einer Norm kann allgemeiner gefasst werden, indem statt Vektorräumen über dem Körper <math>\mathbb K</math> der reellen oder komplexen Zahlen beliebige Vektorräume über bewerteten Körpern <math>(K, | \cdot |)</math>, also Körpern mit einem Absolutbetrag <math>| \cdot |</math>, zugelassen werden.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Eine weitere Verallgemeinerung besteht darin, dass der Vektorraum durch einen <math>R</math>-(Links)-Modul <math>M</math> über einem unitären Ring mit Betrag <math>(R, |\cdot|)</math> ersetzt wird. Eine Funktion <math>\|\cdot\|\colon M\to\R_{+}</math> heißt dann Norm auf dem Modul <math>M</math>, wenn für alle <math>x, y\in M</math> und alle Skalare <math>\alpha\in R</math> die drei Normeigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität erfüllt sind. Wenn im Grundring <math>R</math> der Betrag durch eine Pseudobewertung ersetzt wird und im Modul <math>M</math> die Homogenität zur Subhomogenität abgeschwächt wird, erhält man eine Pseudonorm.

Literatur

B. L. van der Waerden: Algebra II, Springer-Verlag (1967), ISBN 3-540-03869-8, Achtzehntes Kapitel: "Bewertete Körper", S. 200–234.
J. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag (2006), ISBN 3-5403-7547-3, Kapitel II: "Bewertungstheorie", S. 103–191.
Serge Lang: Algebra, Springer (2005), ISBN 0-387-95385-X, Absolute Values, S. 465–499.

Weblinks

Valuation (MathWorld)
Valuation (Encyclopedia of Mathematics)

Einzelnachweise