Arkussekans und Arkuskosekans

Arkussekans und Arkuskosekans sind zyklometrische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen der Sekansfunktion bzw. der Kosekansfunktion und damit Arkusfunktionen. Da die Sekans- und die Kosekansfunktion periodisch sind, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Sekans auf <math>\lbrack 0\, ,\, \pi \rbrack</math>, und der Definitionsbereich von Kosekans auf <math>\lbrack - {\pi / 2 },\, \pi / 2 \rbrack</math> beschränkt. Der Arkussekans wird mit <math>\operatorname{arcsec}\,(x)</math> bezeichnet und der Arkuskosekans mit <math>\operatorname{arccsc}\,(x)</math>. Seltener, vor allem aber im Englischen verwendet man auch die Schreibweisen <math>\sec^{-1}(x)</math> und <math>\csc^{-1}</math>; sie bedeuten aber nicht, dass <math>\operatorname{arcsec}</math> bzw. <math>\operatorname{arccsc}</math> die Kehrwerte von <math>\sec</math> und <math>\csc</math> sind.

Eigenschaften

	Arkussekans	Arkuskosekans
Funktions- Graphen	Datei:Arcsecant.svg	Datei:Arccosecant.svg
Definitionsbereich	<math> -\infty < x \le -1 \, , \, 1 \le x < +\infty </math>	<math> -\infty < x \le -1 \, , \, 1 \le x < +\infty </math>
Wertebereich	<math> 0 \le f(x) \le \pi </math>	<math> - \frac{\pi}{2} \le f(x) \le \frac{\pi}{2} </math>
Monotonie	In beiden Abschnitten jeweils streng monoton steigend	In beiden Abschnitten jeweils streng monoton fallend
Symmetrien	Punktsymmetrie zum Punkt <math>x = 0 , y = \frac{\pi}{2}</math>	Ungerade Funktion <math>\operatorname{arccsc}(x) = -\operatorname{arccsc}(-x)</math>
Asymptoten	<math>f(x) \to \frac{\pi}{2}</math> für <math>x \to\pm\infty</math>	<math>f(x) \to 0</math> für <math>x \to\pm\infty</math>
Nullstellen	<math>x = 1</math>	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	0\right)</math>, Maximum bei <math>\left(-1\|\pi\right)</math>	-\frac\pi2\right.\right)</math>, Maximum bei <math>\left(1\left\|\frac\pi2\right.\right)</math>
Wendepunkte	keine	keine

Reihenentwicklungen

Die Reihenentwicklungen von Arkussekans und Arkuskosekans sind:

<math>\arcsec(x) = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!! x^{-(2k+1)}}{(2k)!! \cdot (2k+1) } \approx \frac{\pi}{2} - x^{-1} - \frac{1}{6} x^{-3} - \frac{3}{40} x^{-5}</math>

<math>\arccsc(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!! x^{-(2k+1)}}{(2k)!! \cdot (2k+1)} = \frac{1}{x} \;+\; \frac{1}{2\cdot3x^3} \;+\; \frac{3}{2\!\cdot\!4\cdot5x^5} \;+\; \frac{3\!\cdot\!5}{2\!\cdot\!4\!\cdot\!6\cdot7x^7} \;+\; \ldots</math>

Integraldarstellungen

Für den Arkussekans und Arkuskosekans existieren folgende Integraldarstellungen:

<math> \arcsec(x) = \int \limits_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t \sqrt{t^2 - 1}} </math>

<math> \arccsc(x) = \int \limits_x^\infty \frac{\mathrm{d}t}{t \sqrt{t^2 - 1}} </math>

Ableitungen

Die Ableitungen sind gegeben durch:

<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{arcsec}(x) = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}</math>

<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{arccsc}(x) = -\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}</math>

Integrale

<math>\int\operatorname{arcsec}(x)\,\mathrm{d}x = x\cdot\operatorname{arcsec}(x) - \sgn(x)\cdot\ln\left(\left|x + \sqrt{x^2-1}\right|\right) + C = x\cdot\operatorname{arcsec}(x) - \operatorname{arcosh}(|x|) + C</math>

<math>\int\operatorname{arccsc}(x)\,\mathrm{d}x = x\cdot\operatorname{arccsc}(x) + \sgn(x)\cdot\ln\left(\left|x + \sqrt{x^2-1}\right|\right) + C = x\cdot\operatorname{arccsc}(x) + \operatorname{arcosh}(|x|) + C</math>