Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus
Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus gehören zu den Areafunktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen zu Sekans hyperbolicus bzw. Kosekans hyperbolicus. Als Funktionen werden sie <math>\operatorname{arsech}</math> oder seltener <math>\operatorname{sech}^{-1}</math> bzw. <math>\operatorname{arcsch}(x)</math> und seltener <math>\operatorname{csch}^{-1}(x)</math> geschrieben.
Definitionen
Man definiert den Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus meist über:
- <math>\operatorname{arsech}(x) = \ln \left( \frac{1 + \sqrt{1-x^2}} {x} \right)</math>
- <math>\operatorname{arcsch}(x) = \begin{cases}\ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}x\right)&,\text{für }x>0\\\ln\left(\frac{1-\sqrt{1+x^2}}x\right)&,\text{für }x<0\end{cases}</math>
Hierbei steht <math> \ln </math> für den natürlichen Logarithmus.
Eigenschaften
| Areasecans hyperbolicus | Areakosekans hyperbolicus | |
|---|---|---|
| Definitionsbereich | <math> 0 < x \le 1 </math> | <math> - \infty < x < + \infty \, ; \, x\ne 0 </math> |
| Wertebereich | <math> 0 \le f(x) < + \infty </math> | <math> - \infty < f(x) < + \infty \, ; \, f(x) \ne 0 </math> |
| Periodizität | keine | keine |
| Monotonie | streng monoton fallend | <math>x \ne 0</math> streng monoton fallend |
| Symmetrien | keine | Ungerade Funktion <math> f(x) = - f(-x)</math> |
| Asymptote | <math> f(x) \to 0 </math> ; <math> x \to +1 </math> | <math> f(x) \to 0 </math> ; <math> x \to \pm \infty</math> |
| Nullstellen | <math> x = 1 </math> | keine |
| Sprungstellen | keine | keine |
| Polstellen | <math> x = 0 </math> | <math> x = 0 </math> |
| Extrema | keine | keine |
| Wendepunkte | <math> x = \frac{1}{2}\sqrt{2} </math> | keine |
Spezielle Werte
Es gilt:
- <math>\operatorname{arcsch}\, 2=\ln\Phi</math>
wobei <math>\!\ \Phi</math> den goldenen Schnitt bezeichnet.
Reihenentwicklungen
- <math>\begin{alignat}{2} \operatorname{arsech}(x) &= \ln \left(\frac{2}{x}\right) -\sum_{k=1}^\infty \frac{(2k-1)!! x^{2k}}{(2k)!! 2k } & \qquad \mathrm{f\ddot ur}\, 0<x\leq 1
\\ \operatorname{arcsch}(x) &= \sum^{\infty}_{k=1} \frac{P_{k-1}(0)}{k}x^k \\ &= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k \cdot (\tfrac12)_{k-1}}{(2k-1)(k-1)!}\,x^{1-2k} \end{alignat}</math>
Dabei ist <math>P_k</math> das <math>k</math>-te Legendre-Polynom und <math>(\tfrac12)_n</math> steht für das Pochhammer-Symbol.
Ableitungen
- <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}{\rm arsech}(x)= - \frac{1}{x \sqrt{1-x^2}}</math>.
- <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\operatorname{arcsch}(x)= -\frac {1}{|x|\sqrt{1+x^2}}</math>.
Integrale
Stammfunktionen des Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus sind:
- <math>\int\operatorname{arsech}(x)\, \mathrm dx = x\cdot\operatorname{arsech}(x) - \arctan\left(\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}\right) + C</math>
- <math>\int\operatorname{arcsch}(x)\, \mathrm dx = x\cdot\operatorname{arcsch}(x) + \ln\left( x+x\sqrt {1+{x}^{-2}}\right) + C. </math>
Umrechnung und Beziehungen zu anderen Areafunktionen
- <math> \operatorname{arsech}\,(x)=\operatorname{arcosh}\left(\frac{1}{x}\right)</math>
- <math> \operatorname{arcsch}\,(x)=\operatorname{arsinh}\left(\frac{1}{x}\right)</math>
Siehe auch
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Inverse Hyperbolic Secant und Inverse Hyperbolic Cosecant auf MathWorld
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