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Airy-Funktion

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{{#if: beschreibt eine spezielle Funktion. Für die Formel, die die Transmission von elektromagnetischer Strahlung beschreibt siehe Airy-Formel. 

 | Vorlage:Hinweisbaustein 
 | {{#ifeq: 0 | 0 |}}

}} Die Airy-Funktion <math>\operatorname{Ai}(x)</math> bezeichnet eine spezielle Funktion in der Mathematik. Die Funktion <math>\operatorname{Ai}(x)</math> und die verwandte Funktion <math>\operatorname{Bi}(x)</math>, die ebenfalls Airy-Funktion genannt wird, sind Lösungen der linearen Differentialgleichung

<math>\ y - xy = 0\ ,</math>

auch bekannt als Airy-Gleichung. Sie beschreibt unter anderem die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen linearen Potentialtopf.

Die Airy-Funktion ist nach dem britischen Astronomen George Biddell Airy benannt, der diese Funktion in seinen Arbeiten in der Optik verwendete (Airy 1838). Die Bezeichnung <math>\operatorname{Ai}(x)</math> wurde von Harold Jeffreys eingeführt.

Definition

Reelle Airy-Funktion

Datei:Airy plot.svg

Für reelle Werte <math>x</math> ist die Airy-Funktion als Parameterintegral definiert:

<math>\mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty \cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, {\rm d}t\ .</math>

Eine zweite, linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung ist die Airy-Funktion zweiter Art <math>\mathrm{Bi}</math>:

<math>\mathrm{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty \left(\exp\left(-\frac{t^3}{3} + xt\right) + \sin\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\right)\, {\rm d}t\ .</math>

Komplexe Airy-Funktion

Die komplexe Airy-Funktion ist

<math>\operatorname{Ai}(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{C} \exp\left(\tfrac{t^3}{3} - zt\right)\, dt,</math>

mit Kontour <math>C</math> von <math>z_1=\infty</math> mit <math>\operatorname{arg}(z_1)=-\pi/3</math> nach <math>z_2=\infty</math> mit <math>\operatorname{arg}(z_2)=\pi/3</math>.

Eigenschaften

Asymptotisches Verhalten

Für <math>x</math> gegen <math>+\infty</math> lassen sich <math>\mathrm{Ai}(x)</math> und <math>\mathrm{Bi}(x)</math> mit Hilfe der WKB-Näherung approximieren:

<math>\begin{align}
\mathrm{Ai}(x) &{}\simeq \frac{e^{-\frac23x^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\
\mathrm{Bi}(x) &{}\simeq \frac{e^{\frac23x^{3/2}}}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}.

\end{align} </math> Für <math>x</math> gegen <math>-\infty</math> gelten die Beziehungen:

<math>\begin{align}
\mathrm{Ai}(x) &{}\simeq \frac{\sin(\frac23(-x)^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,(-x)^{1/4}} \\
\mathrm{Bi}(x) &{}\simeq \frac{\cos(\frac23(-x)^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,(-x)^{1/4}}.

\end{align} </math>

Nullstellen

Die Airy-Funktionen haben nur Nullstellen auf der negativen reellen Achse.<ref>{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Airy Function Zeros. In: MathWorld (englisch). {{#if: AiryFunctionZeros | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | AiryFunctionZeros | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}</ref> Die ungefähre Lage folgt aus dem asymptotischen Verhalten für <math>x \to -\infty</math> zu

<math>

\operatorname{Ai}(x)=0 \quad\Rightarrow\quad x \approx -\bigl(\textstyle\frac32\pi (n - \frac14)\bigr)^{2/3} ,\quad n \in \N </math>

<math>

\operatorname{Bi}(x)=0 \quad\Rightarrow\quad x \approx -\bigl(\textstyle\frac32\pi (n - \frac34)\bigr)^{2/3} ,\quad n \in \N </math>

Spezielle Werte

Die Airy-Funktionen und ihre Ableitungen haben für <math>x=0</math> die folgenden Werte:

<math>\begin{align}
\mathrm{Ai}(0) &{}= \frac{1}{\sqrt[3]{9}\cdot \Gamma(\frac23)}, & \quad \mathrm{Ai}'(0) &{}= -\frac{1}{\sqrt[3]{3}\cdot\Gamma(\frac13)}, \\
\mathrm{Bi}(0) &{}= \frac{1}{\sqrt[6]{3}\cdot\Gamma(\frac23)}, & \quad \mathrm{Bi}'(0) &{}= \frac{\sqrt[6]{3}}{\Gamma(\frac13)}.

\end{align} </math> Hierbei bezeichnet <math>\Gamma(\cdot)</math> die Gammafunktion. Es folgt, dass die Wronski-Determinante von <math>\mathrm{Ai}(x)</math> und <math>\mathrm{Bi}(x)</math> gleich <math>\tfrac1\pi</math> ist.

Fourier-Transformierte

Direkt aus der Definition der Airy-Funktion <math>\operatorname{Ai}(x)</math> (siehe oben) folgt deren Fourier-Transformierte.

<math>

\mathcal{F}(\operatorname{Ai})(k) := \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{Ai}(x)\ \mathrm{e}^{- 2\pi \mathrm{i} k x}\,dx = \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{3}(2\pi k)^3}\,. </math> Man beachte die hier verwendete symmetrische Variante der Fourier-Transformation.

Weitere Darstellungen

<math>\mathrm{Ai}(z)=\frac1{3^{2/3}\cdot \Gamma (\tfrac23)}\cdot \, {}_0F_1 \left(0;\tfrac23;\tfrac19z^3\right) -

\frac{z}{3^{1/3}\cdot \Gamma (\tfrac13)}\cdot \, {}_0F_1 \left(0;\tfrac43;\tfrac19z^3\right)</math>

<math>\mathrm{Bi}(z)=\frac1{3^{1/6}\cdot \Gamma (\tfrac23)}\cdot \, {}_0F_1 \left(0;\tfrac23;\tfrac19z^3\right) +

\frac{3^{1/6}\cdot z}{\Gamma (\tfrac13)}\cdot \, {}_0F_1 \left(0;\tfrac43;\tfrac19z^3\right)</math>

<math>\mathrm{Ai}(x)=\frac13\sqrt{x}\left[ I_{-1/3} \left(\frac23x^{3/2}\right) - I_{1/3} \left(\frac23x^{3/2}\right)\right]</math>
<math>\mathrm{Bi}(x)=\sqrt{\frac x3}\left[ I_{-1/3} \left(\frac23x^{3/2}\right) + I_{1/3} \left(\frac23x^{3/2}\right)\right]</math>
  • Eine andere unendliche Integraldarstellung für <math>\mathrm{Ai}</math> lautet
<math>\mathrm{Ai}(z)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \exp\left(\mathrm i\cdot \left(zt+\frac{t^3}3\right)\right) \mathrm dt</math>
  • Es gibt die Reihendarstellungen<ref>C. Banderier, P. Flajolet, G. Schaeffer, M. Soria: Planar Maps and Airy Phenomena. In Automata, Languages and Programming. Proceedings of the 27th International Colloquium (ICALP 2000) held at the University of Geneva, Geneva, 9.–15. Juli 2000 (Ed. U. Montanari, J. D. P. Rolim, E. Welzl). Berlin: Springer, S. 388–402, 2000</ref>
<math>\mathrm{Ai}(z)=\frac1{3^{2/3}\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma\left(\frac13(n+1)\right)}{n!}\left(3^{1/3}z\right)^n \sin\left(\frac{2(n+1)\pi}{3}\right)</math>
<math>\mathrm{Bi}(z)=\frac1{3^{1/6}\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma\left(\frac13(n+1)\right)}{n!}\left(3^{1/3}z\right)^n \left|\sin\left(\frac{2(n+1)\pi}{3}\right)\right|</math>

Komplexe Argumente

<math>\mathrm{Ai}(x)</math> und <math>\mathrm{Bi}(x)</math> sind ganze Funktionen. Sie lassen sich also auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortsetzen.

<math>\Re \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] </math> <math>\Im \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] </math> \mathrm{Ai} ( x + iy) | \, </math> <math>\mathrm{arg} \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] \, </math>
Datei:AiryAi Real Surface.png Datei:AiryAi Imag Surface.png Datei:AiryAi Abs Surface.png Datei:AiryAi Arg Surface.png
Datei:AiryAi Real Contour.svg Datei:AiryAi Imag Contour.svg Datei:AiryAi Abs Contour.svg Datei:AiryAi Arg Contour.svg


<math>\Re \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] </math> <math>\Im \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] </math> \mathrm{Bi} ( x + iy) | \, </math> <math>\mathrm{arg} \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] \, </math>
Datei:AiryBi Real Surface.png Datei:AiryBi Imag Surface.png Datei:AiryBi Abs Surface.png Datei:AiryBi Arg Surface.png
Datei:AiryBi Real Contour.svg Datei:AiryBi Imag Contour.svg Datei:AiryBi Abs Contour.svg Datei:AiryBi Arg Contour.svg

Verallgemeinerungen

Definiere

<math>T_n(t,\alpha)=t^n {}_2F_1\left(-\frac{n}{2},\frac{1-n}{2};1-n;-\frac{4\alpha}{t^2}\right)</math>

wobei <math>{}_2F_1</math> die hypergeometrische Funktion ist. Dann gibt es folgende Verallgemeinerungen des Airy-Integrals

<math>\operatorname{Ci}_n(\alpha)=\int_0^{\infty}\cos(T_n(t,\alpha))\mathrm{d}t</math>
<math>\operatorname{Si}_n(\alpha)=\int_0^{\infty}\sin(T_n(t,\alpha))\mathrm{d}t</math>
<math>\operatorname{Ei}_n(\alpha)=\int_0^{\infty}\exp(-T_n(t,\alpha))\mathrm{d}t</math>

Verwandte Funktionen

Airy-Zeta-Funktion

Zu der Airy-Funktion lässt sich analog zu den anderen Zeta-Funktionen die Airysche Zeta-Funktion definieren als<ref>{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Airy Zeta Function. In: MathWorld (englisch). {{#if: AiryZetaFunction | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | AiryZetaFunction | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}</ref>

<math>Z(n)=\sum_r \frac1{r^n},</math>

wobei die Summe über die reellen (negativen) Nullstellen von <math>\mathrm{Ai}</math> geht.

Scorersche Funktionen

Datei:Mplwp Scorers Gi Hi.svg
Funktionsgraphen von <math>\mathrm{Gi}(x)</math> und <math>\mathrm{Hi}(x)</math>.

Manchmal werden auch die beiden weiteren Funktionen <math>\mathrm{Gi}(x)</math> und <math>\mathrm{Hi}(x)</math> zu den Airy-Funktionen dazugerechnet. Die Integral-Definitionen lauten<ref>Milton Abramowitz und Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1954, Seite 447</ref>

<math>\mathrm{Gi}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty \sin\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\,\mathrm dt</math>
<math>\mathrm{Hi}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty \exp\left(-\frac{t^3}{3} + xt\right)\,\mathrm dt</math>

Sie lassen sich auch durch die Funktionen <math>\mathrm{Ai}</math> und <math>\mathrm{Bi}</math> darstellen.

Literatur

Weblinks

[{{canonicalurl:Commons:Category:{{#if:Airy function|Airy function|Airy-Funktion}}|uselang=de}} Commons: {{#if:Airy-Funktion|Airy-Funktion|{{#if:Airy function|Airy function|{{#invoke:WLink|getArticleBase}}}}}}]{{#switch:1

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Einzelnachweise

<references />

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