Airy-Formel
{{#if: behandelt die Formel, die die Transmission einer elektromagnetischen Welle beschreibt. Für die spezielle Funktion siehe Airy-Funktion.
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Die Airy-Formel, benannt nach dem Mathematiker und Astronom George Biddell Airy, gibt den Verlauf der transmittierten Intensität elektromagnetischer Strahlung in einem Fabry-Pérot-Interferometer an, in Abhängigkeit vom Verhältnis der Wellenlänge oder Frequenz der Strahlung zum freien Spektralbereich des Interferometers.
Die Airy-Formel ergibt sich durch Addition der elektrischen Felder aller im Interferometer umlaufenden Teilwellen unter Berücksichtigung ihrer Phasen und Amplituden<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>.
Herleitung
Die Intensität der im Interferometer umlaufenden Strahlen ist proportional zur transmittierten Intensität. Bei der Berechnung muss die nicht-ideale Reflexion an den beiden Endspiegeln mit dem Amplituden-Reflexionskoeffizienten <math>r \neq 1</math> berücksichtigt werden. Er ist über <math>r^2 + t^2 = 1</math> mit dem Amplituden-Transmissionskoeffizienten <math>t</math> verknüpft. Nach <math>m</math> Umläufen, also <math>2m</math> Reflexionen, ist der Betrag des elektrischen Feldes um den Faktor <math>r^{2m}</math> kleiner.
Während eines Umlaufs, d. h., wenn eine Teilwelle das Interferometer einmal hin und zurück durchlaufen hat, akkumuliert diese einen Phasenwinkel <math>2 \varphi</math> (also <math>1 \varphi</math> pro zurückgelegter Resonatorlänge <math>L</math>). Diese Phase hängt ab
- vom Verhältnis der Resonatorlänge <math>L</math> zur Wellenlänge <math>\lambda</math> des Lichts sowie
- vom Brechungsindex <math>n</math> des Mediums zwischen den Endspiegeln.
Dies lässt sich auch ausdrücken als Verhältnis der Lichtfrequenz <math>\nu</math> zum freien Spektralbereich <math>\Delta\nu_\text{FSB} = \frac{c}{2nL}</math> (Einheit Frequenz) des Fabry-Pérot-Interferometers mit dem Betrag des Wellenvektors<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> <math>k=2\pi/\lambda</math>:
- <math>\varphi = nkL = n \frac{2 \pi L}{\lambda} = \pi \frac{\nu}{\Delta \nu_\text{FSB}} </math>
Die elektrische Feldstärke <math>E</math> im Innern des Resonators ist
- <math>\begin{align}
E &= E_\mathrm{i}t\left(1+\sum_{m=1}^{m=\infty}r^{2m}\exp \left( 2im\varphi\right) \right) \\
&= E_\mathrm{i} \frac{\sqrt{1 - r^2}}{1 - r^2 \exp \left( 2i \varphi \right)}
\end{align}</math>
mit der Feldstärke <math>E_i</math> des einfallenden Lichts.
In der obigen Rechnung wurde nach einer Indexverschiebung die geometrische Reihe ausgewertet<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>.
Die einzelnen Beiträge der transmittierten Teilwellen addieren sich nach der Passage durch den Ausgangsspiegel zur resultierenden Feldamplitude <math>E_\mathrm{t}</math>:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
- <math>E_\mathrm{t}=t\cdot E=\sqrt{1-r^2}\cdot E=E_\mathrm{i} \frac{1 - r^2}{1 - r^2 \exp \left( 2i \varphi \right)}</math>
Das Betragsquadrat dieses Ausdrucks ergibt mit verschiedenen trigonometrischen Identitäten die Airy-Formel<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>:
- <math>\begin{align}
I_\mathrm{t} &= E_\mathrm{t} \cdot E^*_\mathrm{t} = \frac{I_\mathrm{i}}{1+\left(\frac{2\sqrt{R}}{1-R}\right)^2\sin^2(\varphi)}\\
&\Rightarrow \text{Airy-Formel: }\quad \frac{I_\mathrm{t}}{I_\mathrm{i}}=\frac{1}{1+ \left( \frac{2 \mathcal{F}}{\pi} \right) ^2 \sin^2(\varphi)}= \frac{1}{1+ F \sin^2(\varphi)}
\end{align}</math>
In dieser Intensitätsdarstellung werden verwendet:
- der Reflexionskoeffizient <math>R=r^2</math>
- der Transmissionskoeffizient <math>T=t^2</math>
- die Finesse <math>\mathcal{F} = \frac{\pi \sqrt{R}}{1 - R}</math>.
- der Finesse-Koeffizient <math>F = \left(\frac{2\sqrt{R}}{1-R}\right)^2= \frac{4R}{(1-R)^2}=\left( \frac{2 \mathcal{F}}{\pi} \right) ^2</math>
Siehe auch
Einzelnachweise
<references />