Mittenpunkt
Der Mittenpunkt (nicht zu verwechseln mit Mittelpunkt) ist einer der besonderen Punkte eines Dreiecks. Man erhält ihn dadurch, dass man die Mittelpunkte der drei Ankreise des gegebenen Dreiecks mit den zugehörigen Seitenmittelpunkten verbindet.<ref name="Grundmann-Mittenpunkt">Wolfgang Grundmann: Dreieckgeometrie. AVM, München 2010, ISBN 978-3-89975-808-5, S. 104–105.</ref> Die so entstandenen Verbindungsgeraden schneiden sich im Mittenpunkt. Bewiesen wurde diese Eigenschaft 1836 von dem deutschen Mathematiker Christian Heinrich von Nagel.
Eigenschaften
- Der Mittenpunkt ist zugleich der Lemoine-Punkt des Dreiecks, das durch die drei Ankreismittelpunkte bestimmt ist.<ref name="Grundmann-Mittenpunkt" />
- Der Mittenpunkt liegt mit dem Inkreismittelpunkt und dem Lemoine-Punkt auf einer Geraden.<ref name="Grundmann-Mittenpunkt" />
- Der Mittenpunkt liegt mit dem Schwerpunkt und dem Gergonne-Punkt auf einer Geraden.<ref name="Grundmann-Mittenpunkt" />
- Der Mittenpunkt liegt mit dem Höhenschnittpunkt und dem Spieker-Punkt auf einer Geraden.<ref name="Grundmann-Mittenpunkt" />
- Der Mittenpunkt ist der Mittelpunkt der Mandart-Inellipse.<ref name="Grundmann-Mittenpunkt" />
Koordinaten
Die trilinearen Koordinaten des Mittenpunkts (<math>X_9</math>) sind (gleichwertig)
- <math>(b+c-a) \, : \, (c+a-b) \, : \, (a+b-c)</math> oder
- <math>\cot\frac{\alpha}{2} \, : \, \cot\frac{\beta}{2} \, : \, \cot\frac{\gamma}{2}</math>.<ref name="ETC-X9">Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers. Abgerufen am 22. Januar 2025.</ref>
Die baryzentrischen Koordinaten sind (gleichwertig)
- <math>a(b+c-a) \, : \, b(c+a-b) \, : \, c(a+b-c)</math> oder
- <math>(1 + \cos\alpha) : (1 + \cos\beta) : (1 + \cos\gamma)</math>.<ref name="ETC-X9" />
Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel.
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Mittenpunkt. In: MathWorld (englisch).
- Mittenpunkt – eine Visualisierung mit GeoGebra
Einzelnachweise
<references />