Dedekindring

Ein Dedekindring (nach Richard Dedekind, auch Dedekindbereich) sowie ein ZPI-Ring sind Verallgemeinerungen des Ringes der ganzen Zahlen, in welchem jede natürliche Zahl eine (eindeutige) Primfaktorzerlegung besitzt (Fundamentalsatz der Arithmetik). Die Anwendungen dieser Verallgemeinerungen finden sich hauptsächlich in den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Zahlentheorie und der kommutativen Algebra, besonders in der Idealtheorie.

Definitionen

Ein ZPI-Ring ist ein kommutativer Ring mit Eins, in dem jedes Ideal eine Zerlegung in Primideale besitzt, also Produkt von Primidealen ist.

Ein Dedekindring ist ein Integritätsring, in dem jedes Ideal Produkt von Primidealen ist.

Eigenschaften

• Analog zur Zerlegung natürlicher Zahlen in Primzahlen gilt für Dedekindringe, dass in ihnen jede Zerlegung eines Ideals in Primideale eindeutig ist.
• Über einem Dedekindring ist jedes vom Nullideal verschiedene gebrochene Ideal invertierbar.
• Dedekindringe sind gerade diejenigen Integritätsringe, die höchstens eindimensional, noethersch und normal sind.
• Faktorielle Dedekindringe sind Hauptidealringe. Umgekehrt ist jeder Hauptidealring ein faktorieller Dedekindring.
• Eindimensionale lokale Dedekindringe sind genau die diskreten Bewertungsringe.
• Nulldimensionale Dedekindringe sind Körper.

Manche Autoren fordern, dass Dedekindringe eindimensional sind, wodurch Körper per Definition keine Dedekindringe mehr sind. Dies ist jedoch nicht üblich.

Beispiele

• Jeder Hauptidealring (und damit auch jeder diskrete Bewertungsring) ist ein Dedekindring.
• Ist <math>A</math> ein Hauptidealring, und <math>L</math> eine endliche Erweiterung seines Quotientenkörpers, so ist der ganze Abschluss von <math>A</math> in <math>L</math> ein Dedekindring. Insbesondere gilt das für Ganzheitsringe in Zahlkörpern, also beispielsweise <math> \mathbb Z[\sqrt{-5}].</math>
• Lokalisierungen von Dedekindringen sind wieder Dedekindringe.

Keine Dedekindringe sind:

• <math>\mathbb Z[X]</math> (zweidimensional),
• <math>\mathbb Z[\sqrt5]</math> (nicht normal),
• <math>\mathbb Z[X]/(X^2)</math> und <math>\mathbb Z\times\mathbb Z</math> (keine Integritätsringe),
• der Ring der algebraischen ganzen Zahlen, d. h. der ganze Abschluss von <math>\mathbb Z </math> in einem algebraischen Abschluss <math>\overline{\mathbb Q} </math> der rationalen Zahlen (nicht noethersch).

Literatur

• Robert W. Gilmer: Multiplicative Ideal Theory (= Pure and Applied Mathematics. Band 12). Marcel Dekker, New York 1972. 
• Max D. Larsen, Paul J. McCarthy: Multiplicative Theory of Ideals (= Pure and Applied Mathematics. Band 43). Academic Press, New York, London 1971 (wordpress.com [PDF]).