Faddeeva-Funktion

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Die Faddeeva-Funktion in der komplexen Zahlenebene

Die Faddeeva-Funktion (auch Kramp-Funktion oder relativistische Plasma-Dispersions-Funktion) ist eine skalierte komplexe komplementäre Fehlerfunktion,

<math>w(z):=e^{-z^2}\operatorname{erfc}(-iz)

 =e^{-z^2}\left(1+\frac{2i}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{t^2}\text{d}t\right).</math>

Sie ist verwandt mit den Fresnel-Integralen, den Dawson-Integralen und dem Voigt-Profil. Die Funktion ist nach Wera Nikolajewna Faddejewa benannt.

Eigenschaften

Real- und Imaginärteil

Für genauere Betrachtungen lässt sich <math>w\left(z\right)</math> mit <math>z=x+iy</math> wie folgt zerlegen:

<math>w(z)=V\left(x,y\right)+iL\left(x,y\right)</math>,

<math>V</math> und <math>L</math> stellen hierbei die reale und imaginäre Voigt-Funktion dar, da es sich bei <math>V(x,y)</math> bis auf Vorfaktoren um das Voigt-Profil handelt.<ref name = "Avetisov 1995">V. G. Avetisov: A Least-Squares Fitting Technique for Spectral Analysis of Direct and Frequency-Modulation Lineshapes. In: Fakultät für Physik der Universität Lund (Hrsg.): Lund Reports in Atomic Physics. LRAP-186, 1995 (lu.se [PDF]). </ref>

Integraldarstellung

Die Faddeeva-Funktion besitzt die Integraldarstellung

<math>w(z)=\frac{i}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{- t^2}}{z - t} \,\mathrm{d}t \qquad \Im\left(z\right) > 0 </math>

sprich sie ist die Konvolution einer Gauß-Funktion und einer einfachen Polstelle.<ref name = "Avetisov 1995"> </ref>
Die reale und imaginäre Voigt-Funktion lassen sich in ähnlicher Weise darstellen:<ref name = "Avetisov 1995"> </ref>

<math>V\left(x,y\right)=\frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{- t^2}}{\left(x - t\right)^{2} + y^{2}} \,\mathrm{d}t</math>

<math>L\left(x,y\right)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left(x - t\right)\ \cdot\ e^{- t^2}}{\left(x - t\right)^{2} + y^{2}} \,\mathrm{d}t</math>

Verhalten bei Vorzeichenumkehr

Bei einer Vorzeichenumkehr von <math>z</math> kann bei Berechnungen auf die folgenden Zusammenhänge zurückgegriffen werden:

<math>w(-z)=2e^{-z^2} - w(z)</math>

sowie

<math>w(-z)=\overline{w\left(\overline{z}\right)}</math>

<math>\overline{z}</math> ist die Konjugation von <math>z</math>.<ref>W. Gautschi: Efficient Computation of the Complex Error Function. In: Society for Industrial and Applied Mathematics (Hrsg.): SIAM Journal on Numerical Analysis. Band 7, Nr. 1, 1970, S. 187–198 (nasa.gov [PDF]). </ref>

Ableitung

In manchen Anwendungen muss nicht nur die Faddeeva-Funktion selbst, sondern auch ihre Ableitungen berechnet werden, beispielsweise bei der Nichtlinearen Regression in der Spektroskopie. Ihre analytische Ableitung lautet:<ref name = "Avetisov 1995"> </ref><ref>National Institute of Standards and Technology (NIST): 7 Error functions, Dawson's and Fresnel integrals - 7.10 Derivatives, 15. März 2023, abgerufen am 14. Mai 2023 </ref>

<math>\frac{dw\left(z\right)}{dz} = \frac{2i}{\sqrt{\pi}} - 2\cdot z\cdot w\left(z\right)</math>

Dieser Ausdruck kann auch herangezogen werden, um die Änderungen im Real- und Imaginärteil der Faddeeva-Funktion <math>\Re\left(w\left(z\right)\right) = \Re_{w}</math> und <math>\Im\left(w\left(z\right)\right) = \Im_{w}</math> nachzuvollziehen. Im Prinzip muss dafür das Produkt <math>z\cdot w\left(z\right)</math> eingehender betrachtet werden. Mit der obigen Definition des Arguments <math>z = x + iy</math>, kann die Ableitung auch in ihre partiellen Ableitungen nach <math>x</math> und <math>y</math> zerlegt werden:

<math>\frac{d\Re_{w}}{dx} = 2\cdot\left(y\cdot\Im_{w} - x\cdot\Re_{w}\right) = \frac{d\Im_{w}}{dy}</math>

<math>\frac{d\Re_{w}}{dy} = -2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} - x\cdot\Im_{w} - y\cdot\Re_{w}\right) = -\frac{d\Im_{w}}{dx}</math>

<math>\frac{d\Im_{w}}{dx} = 2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} - x\cdot\Im_{w} - y\cdot\Re_{w}\right) = -\frac{d\Re_{w}}{dy}</math>

<math>\frac{d\Im_{w}}{dy} = 2\cdot\left(y\cdot\Im_{w} - x\cdot\Re_{w}\right) = \frac{d\Re_{w}}{dx}</math>

Beziehungen zu anderen Funktionen

Dawsonsche Funktion

Es gilt folgende Beziehung zur Dawsonschen Funktion <math>D_+(x)</math>

<math>w(x)=e^{-x^2}\operatorname{erfc}(-ix)=e^{-x^2}+\frac{2i}{\sqrt{\pi}}D_{+}(x).</math><ref>J. H. McCabe: A Continued Fraction Expansion, with a Truncation Error Estimate, for Dawson's Integral. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Mathematics of Computation. Band 28, Nr. 127, 1974, S. 811–816. </ref>

Komplementäre Fehlerfunktion

Für rein imaginäre Argumente <math>iy</math> entspricht die Faddeeva-Funktion der skalierten Komplementären Fehlerfunktion <math>erfcx</math>

<math>w(iy)=\mathrm{erfcx}(y)=e^{y^2}\mathrm{erfc}(y)</math>,

mit der Komplementären Fehlerfunktion <math>erfc</math>.

Geschichte

Die Funktion wurde 1954 von Wera Faddejewa und Terentjew tabuliert.<ref>V. N. Faddeeva, N. N. Terent'ev: Tables of values of the function <math>w(z)=\exp(-z^2)(1+2i/\sqrt{\pi}\int_0^z\exp(t^2)\text{d}t)</math> for complex argument. Gosud. Izdat. Teh.-Teor. Lit., Moscow, 1954; English transl., Pergamon Press, New York, 1961.</ref> Sie erscheint als namenlose Funktion <math>w(z)</math> im Standardwerk von Abramowitz-Stegun (1964), Formel 7.1.3. Der Name Faddeeva function wurde anscheinend 1990 von Poppe und Wijers eingeführt.<ref>Google-Scholar-Recherche laut engl. Wikipedia.</ref>

Implementierungen

Steven G. Johnson hat eine Implementierung als freie und offene Software veröffentlicht, die auf einer Kombination der Algorithmen 680 und 916 beruht.<ref>Faddeeva Package, unter MIT-Lizenz.</ref> Sie liegt der Funktion scipy.special.wofz in der Python-Bibliothek SciPy zugrunde, und sie ist auch in Form einer C-Bibliothek libcerf verfügbar.<ref>Vorlage:Webarchiv/Wartung/Today</ref>
Für Matlab existiert eine öffentlich einsehbare Implementierung, die auf einer Approximation durch Fourierreihen sowie einer unendlichen Bruchdarstellung basiert.<ref> Sanjar Abrarov: The Voigt/complex error function (second version), MATLAB Central File Exchange, 10. Juli 2016, abgerufen am 14. Mai 2023 </ref>

Literatur

• W. Gautschi ACM Transactions on Mathematical Software (1969?): ACM Algorithmus 363.
• W. Gautschi SIAM J. Numer. Anal. 7, 187 (1970).
• G. P. M. Poppe, C. M. J. Wijers, ACM Transactions on Mathematical Software 16, 38–46 (1990): ACM Algorithm 680.
• J. A. C. Weideman, SIAM J. Numer. Anal. 31, 1497–1518 (1994): Besonders kompakter Algorithmus in 8 Zeilen Matlab.
• M. R. Zaghloul and A. N. Ali, ACM Transactions on Mathematical Software 38, 15 (2011): ACM Algorithm 916.
• S. M. Abrarov and B. M. Quine, Appl. Math. Comp. 218, 1894–1902 (2011).
• S. M. Abrarov and B. M. Quine, Arxiv, Preprint 2012

Quellen

<references />