Willmore-Energie

Die Willmore-Energie ist in der Differentialgeometrie eine Größe, die die Biegungsenergie von im Raum eingebetteten Flächen misst. Sie ist nach Thomas Willmore benannt.

Definition

Für eine glatte, eingebettete, kompakte, orientierte Fläche <math>\Sigma\subset \mathbb R^3</math> mit mittlerer Krümmung <math>H:\Sigma\rightarrow\mathbb R</math> definiert man die Willmore-Energie

<math>W(\Sigma)=\int_{\Sigma} H^2 dA</math>.

Motivation

Minimalflächen im <math>\mathbb R^3</math> sind per Definition Flächen, deren mittlere Krümmung verschwindet: <math>H\equiv 0</math>.

Aus dem Maximumprinzip folgt, dass es im <math>\mathbb R^3</math> keine kompakten Minimalflächen ohne Rand gibt. Stattdessen sucht man nach geschlossenen Flächen, welche die Willmore-Energie minimieren.

Variante

Gelegentlich wird die Willmore-Energie auch durch

<math>\int_{\Sigma} (H^2 - K )dA</math>

mit der Gauß-Krümmung <math>K:\Sigma\rightarrow\mathbb R</math> definiert.

Weil nach dem Satz von Gauß-Bonnet

<math>\int_{\Sigma} K dA = 2\pi\chi(\Sigma) = 4\pi(1-g)</math>

gilt, unterscheiden sich die beiden Definitionen nur durch eine (von der Topologie der Fläche <math>\Sigma</math> abhängende) Konstante.

Sphären

Eine runde Sphäre von beliebigem Radius <math>r</math> hat Willmore-Energie <math>W(S^2(r))=4\pi</math>. Eine elementare Anwendung der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel (zusammen mit dem Satz von Gauss-Bonnet) zeigt, dass für jede andere Sphäre die Willmore-Energie größer als <math>4\pi</math> ist.<ref>Die Willmore-Vermutung nach Marques und Neves</ref>

Tori

Clifford-Tori haben Willmore-Energie <math>W(T)=2\pi^2</math>.

Thomas Willmore vermutete 1965<ref>T.J.Willmore: Note on embedded surfaces An. Sti. Univ. Al. I. Cuza Iasi, N. Ser., Sect. Ia 11B, 493–496 (1965)</ref>, dass für jede Fläche vom Geschlecht <math>\ge 1</math> die Ungleichung

<math>W(\Sigma)\ge 2\pi^2</math>

gilt. Ein Beweis dieser Vermutung wurde im Februar 2012 von Fernando Codá Marques und André Neves angekündigt.<ref>Fernando Codá Marques, André Neves: Min-Max theory and the Willmore conjecture, arxiv:1202.6036</ref> Martin Schmidt hat schon 2002 in<ref>Vorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/NameVorlage:Cite book/Name: A proof of the Willmore conjecture. In: arXiv. Vorlage:Cite book/Date, arxiv:math/0203224 (Vorlage:Cite book/URL [abgerufen am -06-]). Vorlage:Cite book/URLVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/Meldung2</ref> einen Beweis der Willmore-Vermutung dargestellt, dessen Vollständigkeit allerdings in der Fachwelt umstritten ist.

Immersionen

Die Willmore-Energie kann auch für Immersionen <math>f:\Sigma\rightarrow\mathbb R^3</math> definiert werden. Li und Yau haben bewiesen, dass für jede nicht-eingebettete immersierte Fläche die Willmore-Energie mindestens <math>8\pi</math> ist. Insbesondere wird das Minimum der Willmore-Energie unter immersierten Sphären und Tori tatsächlich durch eingebettete Flächen realisiert.

Für immersierte projektive Ebenen ist die Willmore-Energie mindestens <math>16\pi</math>, das Minimum wird durch die Bryant-Kusner-Parametrisierung der Boyschen Fläche realisiert.

Weblinks

• Yann Bernard: Autour des surfaces de Willmore

Einzelnachweise

<references />