Willmore-Energie

Die Willmore-Energie ist in der Differentialgeometrie eine Größe, die die Biegungsenergie von im Raum eingebetteten Flächen misst. Sie ist nach Thomas Willmore benannt.

Definition

Für eine glatte, eingebettete, kompakte, orientierte Fläche <math>\Sigma\subset \mathbb R^3</math> mit mittlerer Krümmung <math>H:\Sigma\rightarrow\mathbb R</math> definiert man die Willmore-Energie

<math>W(\Sigma)=\int_{\Sigma} H^2 dA</math>.

Motivation

Minimalflächen im <math>\mathbb R^3</math> sind per Definition Flächen, deren mittlere Krümmung verschwindet: <math>H\equiv 0</math>.

Aus dem Maximumprinzip folgt, dass es im <math>\mathbb R^3</math> keine kompakten Minimalflächen ohne Rand gibt. Stattdessen sucht man nach geschlossenen Flächen, welche die Willmore-Energie minimieren.

Variante

Gelegentlich wird die Willmore-Energie auch durch

<math>\int_{\Sigma} (H^2 - K )dA</math>

mit der Gauß-Krümmung <math>K:\Sigma\rightarrow\mathbb R</math> definiert.

Weil nach dem Satz von Gauß-Bonnet

<math>\int_{\Sigma} K dA = 2\pi\chi(\Sigma) = 4\pi(1-g)</math>

gilt, unterscheiden sich die beiden Definitionen nur durch eine (von der Topologie der Fläche <math>\Sigma</math> abhängende) Konstante.

Sphären

Eine runde Sphäre von beliebigem Radius <math>r</math> hat Willmore-Energie <math>W(S^2(r))=4\pi</math>. Eine elementare Anwendung der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel (zusammen mit dem Satz von Gauss-Bonnet) zeigt, dass für jede andere Sphäre die Willmore-Energie größer als <math>4\pi</math> ist.<ref>Die Willmore-Vermutung nach Marques und Neves</ref>

Tori

Clifford-Tori haben Willmore-Energie <math>W(T)=2\pi^2</math>.

Thomas Willmore vermutete 1965<ref>T.J.Willmore: Note on embedded surfaces An. Sti. Univ. Al. I. Cuza Iasi, N. Ser., Sect. Ia 11B, 493–496 (1965)</ref>, dass für jede Fläche vom Geschlecht <math>\ge 1</math> die Ungleichung

<math>W(\Sigma)\ge 2\pi^2</math>

gilt. Ein Beweis dieser Vermutung wurde im Februar 2012 von Fernando Codá Marques und André Neves angekündigt.<ref>Fernando Codá Marques, André Neves: Min-Max theory and the Willmore conjecture, Vorlage:ArXiv</ref> Martin Schmidt hat schon 2002 in<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}{{#if:

       | {{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
               | Vorlage:Toter Link/archivebot
               | Vorlage:Webarchiv/archiv-bot
         }}
  }}{{#invoke:TemplatePar|check
   |all    = title=
   |opt    = vauthors= author= author1= authorlink= author-link= author-link1= author1-link= author2= author3= author4= author5= author6= author7= author8= author9= editor= last= first= last1= first1= last2= first2= last3= first3= last4= first4= last5= first5= last6= first6= last7= first7= last8= first8= last9= first9= last10= first10= last11= first11= last12= first12= last13= first13= last14= first14= last15= first15= others= script-title= trans-title= date= year= volume= issue= number= series= page= pages= at= issn= arxiv= bibcode= doi= pmid= pmc= jstor= oclc= id= url= url-status= format= access-date= archive-date= archive-url= archivebot= offline= location= publisher= language= quote= work= journal= newspaper= magazine= periodical=  name-list-style= url-access= doi-access= display-authors= via= s2cid= mr= type= citeseerx=  accessdate= archivedate= archiveurl= coauthors= month= day= last16= first16= last17= first17= last18= first18= last19= first19= last20= first20= last21= first21= last22= first22= last23= first23= last24= first24= last25= first25= last26= first26= last27= first27= last28= first28= last29= first29= last30= first30= last31= first31=
   |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Cite journal
   |errNS    = 0
   |template = Vorlage:Cite journal
   |format   = @@@
   |preview  = 1
  }}Vorlage:Cite book/URL{{#if:  | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#if:        | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#if: arXiv
     || Vorlage:Cite book/Meldung
  }}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
        | Vorlage:Cite book/Meldung
  }}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
     | Vorlage:Cite book/Meldung
  }}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
     | Vorlage:Cite book/Meldung
  }}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
     | Vorlage:Cite book/Meldung
  }}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
       | Vorlage:Cite book/Meldung
  }}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
     | Vorlage:Cite book/Meldung
  }}Vorlage:Cite book/Meldung2{{#ifexpr: 0{{#ifeq:Schmidt|^^||+1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}} > 1
    | Vorlage:Cite book/Meldung
  }}</ref> einen Beweis der Willmore-Vermutung dargestellt, dessen Vollständigkeit allerdings in der Fachwelt umstritten ist.

Immersionen

Die Willmore-Energie kann auch für Immersionen <math>f:\Sigma\rightarrow\mathbb R^3</math> definiert werden. Li und Yau haben bewiesen, dass für jede nicht-eingebettete immersierte Fläche die Willmore-Energie mindestens <math>8\pi</math> ist. Insbesondere wird das Minimum der Willmore-Energie unter immersierten Sphären und Tori tatsächlich durch eingebettete Flächen realisiert.

Für immersierte projektive Ebenen ist die Willmore-Energie mindestens <math>16\pi</math>, das Minimum wird durch die Bryant-Kusner-Parametrisierung der Boyschen Fläche realisiert.

Weblinks

Yann Bernard: Autour des surfaces de Willmore

Einzelnachweise