Mittlere Krümmung

Die mittlere Krümmung ist neben der gaußschen Krümmung ein wichtiger Krümmungsbegriff in der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum <math>\mathbb{R}^3</math>, einem Gebiet der Differentialgeometrie.

Definition

Gegeben seien eine reguläre Fläche im <math>\mathbb{R}^3</math> und ein Punkt dieser Fläche. Die mittlere Krümmung <math>H</math> der Fläche in diesem Punkt ist das arithmetische Mittel der beiden Hauptkrümmungen <math>k_1</math> und <math>k_2</math>. Das heißt, die mittlere Krümmung ist definiert als

Von besonderem Interesse sind sogenannte Minimalflächen, für welche <math>H=0</math> bzw. <math>k_1=-k_2</math> gilt.

Allgemeiner kann man die mittlere Krümmung für n-dimensionale Hyperflächen des <math>\R^{n+1}</math> durch <math>H := \tfrac{1}{n} \operatorname{Spur}(S)</math> definieren. Dabei ist <math>S</math> die Weingarten-Abbildung und <math>\operatorname{Spur}</math> bezeichnet die Spur einer Matrix.

Berechnung

Sind <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> bzw. <math>L</math>, <math>M</math>, <math>N</math> die Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Fundamentalform der Fläche, so gilt die Formel

Wenn die Fläche isotherm parametrisiert ist, das heißt, wenn für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform <math>E=G</math> und <math>F=0</math> gilt, dann vereinfacht sich diese Formel zu

Ist die betrachtete Fläche der Graph einer Funktion <math>f</math> über dem Parameterbereich <math>U</math>, also <math>X(u,v) = (u,v,f(u,v))</math> für alle <math>(u,v) \in U</math>, so gilt für die mittlere Krümmung:

<math>H = \frac{(1+f_v^2)f_{uu} - 2f_uf_vf_{uv} + (1+f_u^2)f_{vv}}{2\sqrt{1+f_u^2+f_v^2}^{3}}</math>.

Hierbei bezeichnen <math>f_u</math> und <math>f_v</math> die ersten und <math>f_{uu}</math>, <math>f_{uv}</math> und <math>f_{vv}</math> die zweiten partiellen Ableitungen von <math>f</math>.

Beispiele

Die Oberfläche einer Kugel mit Radius <math>r</math> hat die mittlere Krümmung <math>H = \tfrac 1 r</math>.

In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders mit Radius <math>r</math> ist die mittlere Krümmung gleich <math>H = \tfrac 1 {2r}</math>

Weitere Eigenschaften

Für eine Fläche <math> X = X(u,v)</math> gilt die Gleichung

<math style="margin-left:2em"> H\vec{n} = g^{ij}\nabla_i\nabla_j X,</math>

mit der Einheitsnormale <math> \vec{n}</math>, <math> g_{ij} </math> als erster Fundamentalform und <math>\nabla_i</math> der kovarianten Ableitung.

Wenn eine Fläche <math>X = X(u,v)</math> isotherm parametrisiert ist, so genügt sie dem Rellichschen H-Flächensystem

<math style="margin-left:2em"> \Delta X = 2H X_u\times X_v.</math>

Ist die Fläche als Niveaufläche einer Funktion <math>F</math> gegeben, so gilt

<math style="margin-left:2em"> 2 H = -\operatorname{div} \vec{n} = -\operatorname{div} \frac{\nabla F}{|\nabla F|}.</math><ref>Philipp D. Lösel: GPU-basierte Verfahren zur Segmentierung biomedizinischer Bilddaten. (PDF) Heidelberg University, 22. April 2022, S. 42–43, abgerufen am 5. September 2022. Beweis zu Satz 3.22.</ref>

Dabei ist <math>\operatorname{div}</math> die Divergenz und <math>\vec{n}</math> das Einheitsnormalenfeld <math>\tfrac{\nabla F}{|\nabla F|}.</math> Diese Formel heißt Formel von Bonnet und gilt allgemein für n-dimensionale Hyperflächen.

Literatur

Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 4., überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8348-0411-2.

Einzelnachweise