Bevan-Punkt

Bevan-Punkt M im Dreieck ABC

Bevan-Punkt M, Bevan-Kreis k_M, Höhenschnittpunkt H, Schwerpunkt G, Umkreismittelpunkt O, Inkreismittelpunkt I, Euler-Gerade e, Umkreis k_O

Der Bevan-Punkt gehört zu den ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks. Er ist definiert als Mittelpunkt des Kreises, der durch die drei Ankreismittelpunkte des gegebenen Dreiecks geht. Die Bezeichnung Bevan-Punkt bezieht sich auf ein Problem, das der englische Ingenieur Benjamin Bevan 1804 in Leybourn's Mathematical Repository (S. 18) stellte.<ref name="ETC-X40">Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, X(40). Abgerufen am 29. Januar 2025 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)). </ref> Das Problem wurde noch im gleichen Jahr<ref>Alexander Bogomolny: Bevan's Point and Theorem. Abgerufen am 29. Januar 2025 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)). </ref> (nach anderen Angaben erst 1806<ref name="MW-X40">Eric W. Weisstein: Bevan Point. In: MathWorld (englisch). </ref>) von John Butterworth gelöst.

Eigenschaften

Die Verbindungsstrecken des Bevan-Punktes mit den Ankreismittelpunkten sind senkrecht zu den Seiten des gegebenen Dreiecks.<ref name="Grundmann-85">Wolfgang Grundmann: Dreieckgeometrie. AVM, München 2010, ISBN 978-3-89975-808-5, S. 85. </ref>
Die Verbindungsstrecke zwischen dem Bevan-Punkt und dem Inkreismittelpunkt des gegebenen Dreiecks wird durch den Umkreismittelpunkt des Dreiecks halbiert.<ref name="Grundmann-84">Wolfgang Grundmann: Dreieckgeometrie. AVM, München 2010, ISBN 978-3-89975-808-5, S. 84. </ref>
Der Bevan-Punkt ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von Nagel-Punkt und Longchamps-Punkt.<ref name="Grundmann-84" />
Die Verbindungsstrecke zwischen dem Bevan-Punkt und dem Höhenschnittpunkt wird durch den Spieker-Punkt halbiert.<ref name="Grundmann-84" />
Bevan-Punkt und Inkreismittelpunkt haben den gleichen Abstand d von der eulerschen Geraden, hierbei gilt <math>d=\sqrt{R^2-\tfrac{abc}{a+b+c}}.</math><ref name="MW-X40" />

Koordinaten

Die trilinearen Koordinaten des Bevan-Punkts (<math>B_{40}</math>) sind

<math>(\cos\beta + \cos\gamma - \cos\alpha - 1) : (\cos\gamma + \cos\alpha - \cos\beta - 1) : (\cos\alpha + \cos\beta - \cos\gamma - 1).</math><ref name="ETC-X40" />

Dabei sind <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel des Dreiecks.

Weblinks

Einzelnachweise