Verebnung
Unter Verebnung wird in der Geodäsie die Überführung der Kugelgestalt der Erdoberfläche in die Ebene sowie die Darstellung von Reliefunterschieden verstanden.<ref>Fabian van der Linden: Wie sieht für dich eine Karte aus?: Eine empirische Studie zu Vorstellungen von Schülerinnen und Schülern der vierten und elften Jahrgangsstufe. BoD – Books on Demand, 2022, ISBN 978-3-7568-3468-6, S. 42 ff. (google.de [abgerufen am 10. April 2026]).</ref>
Dabei findet mittels einer vereinfachten Berechnung für Kugeldreiecke unter Anwendung des Satzes von Legendre eine Überführung auf ebene Dreiecke statt.<ref>Satz von Legendre. Abgerufen am 10. April 2026.</ref> Vereinfacht ausgedrückt wird dabei von jedem Winkel des sphärischen Dreiecks ein Drittel des Betrages, um den die Winkelsumme 180° übersteigt, - dem sogenannten sphärischen Exzess - abgezogen. Dadurch erhält man ein planares Ersatzdreieck mit denselben Seitenlängen, das sich auf einfache Weise mit den Mitteln der ebenen Trigonometrie berechnen lässt. Das Verfahren reduziert dabei den Rechenaufwand erheblich, ohne bei den in der Landvermessung üblichen Distanzen nennenswerte Fehler zu verursachen.<ref>Florita-Ionela STRUGARI, Raluca-Camelia MURESAN, Alexandra-Madalina GRAD, Alina GIURGIU, University of Agricultural Sciences and Veterinary Medicine of Cluj-Napoca: COMPARATIVE ANALYSIS OF THE RESULTS OBTAINED FROM SOLVING SMALL SPHERICAL TRIANGLES THROUGH LEGENDRE METHOD, AND THROUGHSOLDNER METHOD. In: Journal of Young Scientist, Volume II, 2014 ISSN 2344-1283; abrufbar unter https://journalofyoungscientist.usamv.ro/pdf/vol_II_2014/art39.pdf</ref>
Die Berechnung der Verebnung setzt voraus, dass zwei oder drei Dreieckswinkel <math>\alpha, \beta, \gamma</math> in der Natur gemessen oder anderweitig bekannt sind. Sie ergibt für Dreiecksseiten einer Länge bis etwa 100 km eine Genauigkeit im Millimeter-Bereich, d. h. ca. <math>10^{-8}.</math><ref>Geodätische Messtechnik -Vermessungskunde - Band 2, F. Chaperon und A. Elmiger, 4. Auflage Dez. 1996, ETH Zürich, Institut für Geodäsie und Photogrammetrie, ISBN 3-906513-60-2, Online</ref>
Der Rechenvorgang ist folgendermaßen:<ref>Wilhelm Jordan, Otto Eggert: Handbuch der Vermessungskunde: Mathematische Geodäsie (Landesvermessung) von M. Kneissl: 1. Die Figur der Erde und die geodätischen Bezugsflächen. Die Feldarbeiten bei der Haupttriangulation. 2. Die geodätischen Berechnungen auf der Kugel und auf dem Ellipsoid. 2 v. J. B. Metzler, 1959, ISBN 978-3-476-40011-6, S. 725 ff. (google.de [abgerufen am 10. April 2026]).</ref>
- genäherte Berechnung der Dreiecksfläche <math>\tilde A</math> (hierfür genügen vorläufige Werte)
- Berechnung des sphärischen Exzesses <math>\epsilon</math>, um den die Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks den Wert von 180° übersteigt:<math>\epsilon = \alpha + \beta + \gamma - 180^\circ</math>
- aus der genäherten Dreiecksfläche <math>\tilde A</math>:
- <math>\tilde A = \frac{\epsilon}{180^\circ} \cdot \pi R^2 \quad \Leftrightarrow \quad \epsilon = \frac{\tilde A}{\pi R^2} \cdot 180^\circ,</math> worin <math>R</math> der Kugelradius ist.
- 3. Verminderung aller gemessenen (sphärischen) Dreieckswinkel um <math>\frac{\epsilon}{3}</math>
- 4. Berechnung der Dreiecksseiten mittels ebener Trigonometrie.
Bei einem sehr kleinen Kugeldreieck (klein im Vergleich zur gesamten Erdoberfläche) übersteigt die Winkelsumme den Wert von 180° nur wenig. So hat z. B. ein gleichseitiges Dreieck mit 21 km langen Seiten einen sphärischen Exzess von nur 1 " (etwa das Zehnfache der modernen Messgenauigkeit). Überdeckt das Dreieck hingegen fast die halbe Kugeloberfläche (drei Winkel zu fast 180°), so ist die Winkelsumme nur wenig kleiner als 540° und der Exzess daher beinahe 360°.<ref name=":0">Kugeldreieck, Seiten und Winkel. Abgerufen am 10. April 2026.</ref>
Der direkte Zusammenhang zwischen Exzess und Dreiecksfläche wird am Achtel einer Kugel deutlich (gleichseitiges Dreieck mit drei sphärischen Winkeln zu je 90°), wo <math>\epsilon = 90^\circ</math> beträgt. Ein solches Dreieck verbindet z. B. ein Viertel des Äquators mit dem Nordpol. Gemäß der obigen Rechenvorschrift sind die drei Winkel jeweils um <math>\tfrac{\epsilon}{3} = \tfrac{90^\circ}{3} = 30^\circ</math> zu verringern, so dass sich mit 60° jeweils der Winkel ergibt, den ein ebenes gleichseitiges Dreieck aufweist.<ref name=":0" />
Siehe auch
Einzelnachweise
<references />