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Verebnung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Datei:Spherical triangle 3d.png
Kugeldreieck mit Winkeln

Unter Verebnung wird in der Geodäsie die Überführung der Kugelgestalt der Erdoberfläche in die Ebene sowie die Darstellung von Reliefunterschieden verstanden.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Dabei findet mittels einer vereinfachten Berechnung für Kugeldreiecke unter Anwendung des Satzes von Legendre eine Überführung auf ebene Dreiecke statt.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:Satz von Legendre|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Satz von Legendre}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.biancahoegel.de/topo/satz_legendre.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Satz von Legendre}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.biancahoegel.de/topo/satz_legendre.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Satz von Legendre}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2026-04-10 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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}}; abrufbar unter https://journalofyoungscientist.usamv.ro/pdf/vol_II_2014/art39.pdf</ref>

Die Berechnung der Verebnung setzt voraus, dass zwei oder drei Dreieckswinkel <math>\alpha, \beta, \gamma</math> in der Natur gemessen oder anderweitig bekannt sind. Sie ergibt für Dreiecksseiten einer Länge bis etwa 100 km eine Genauigkeit im Millimeter-Bereich, d. h. ca. <math>10^{-8}.</math><ref>Geodätische Messtechnik -Vermessungskunde - Band 2, F. Chaperon und A. Elmiger, 4. Auflage Dez. 1996, ETH Zürich, Institut für Geodäsie und Photogrammetrie, ISBN 3-906513-60-2, Online</ref>

Der Rechenvorgang ist folgendermaßen:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

  1. genäherte Berechnung der Dreiecksfläche <math>\tilde A</math> (hierfür genügen vorläufige Werte)
  2. Berechnung des sphärischen Exzesses <math>\epsilon</math>, um den die Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks den Wert von 180° übersteigt:<math>\epsilon = \alpha + \beta + \gamma - 180^\circ</math>
  3. aus der genäherten Dreiecksfläche <math>\tilde A</math>:
  4. <math>\tilde A = \frac{\epsilon}{180^\circ} \cdot \pi R^2 \quad \Leftrightarrow \quad \epsilon = \frac{\tilde A}{\pi R^2} \cdot 180^\circ,</math> worin <math>R</math> der Kugelradius ist.
3. Verminderung aller gemessenen (sphärischen) Dreieckswinkel um <math>\frac{\epsilon}{3}</math>
4. Berechnung der Dreiecksseiten mittels ebener Trigonometrie.

Bei einem sehr kleinen Kugeldreieck (klein im Vergleich zur gesamten Erdoberfläche) übersteigt die Winkelsumme den Wert von 180° nur wenig. So hat z. B. ein gleichseitiges Dreieck mit 21 km langen Seiten einen sphärischen Exzess von nur 1 " (etwa das Zehnfache der modernen Messgenauigkeit). Überdeckt das Dreieck hingegen fast die halbe Kugeloberfläche (drei Winkel zu fast 180°), so ist die Winkelsumme nur wenig kleiner als 540° und der Exzess daher beinahe 360°.<ref name=":0">{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:Kugeldreieck, Seiten und Winkel|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Kugeldreieck, Seiten und Winkel}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.walter-fendt.de/html5/mde/sphericaltriangle_de.htm%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Kugeldreieck, Seiten und Winkel}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.walter-fendt.de/html5/mde/sphericaltriangle_de.htm}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Kugeldreieck, Seiten und Winkel}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2026-04-10 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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Der direkte Zusammenhang zwischen Exzess und Dreiecksfläche wird am Achtel einer Kugel deutlich (gleichseitiges Dreieck mit drei sphärischen Winkeln zu je 90°), wo <math>\epsilon = 90^\circ</math> beträgt. Ein solches Dreieck verbindet z. B. ein Viertel des Äquators mit dem Nordpol. Gemäß der obigen Rechenvorschrift sind die drei Winkel jeweils um <math>\tfrac{\epsilon}{3} = \tfrac{90^\circ}{3} = 30^\circ</math> zu verringern, so dass sich mit 60° jeweils der Winkel ergibt, den ein ebenes gleichseitiges Dreieck aufweist.<ref name=":0" />

Siehe auch

Einzelnachweise

<references />

Abgerufen von „https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Verebnung&oldid=253241“