Clausen-Funktion

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Graph der Clausen-Funktion <math>\mathrm{Cl}_2(\theta)</math> (rot) und <math>\mathrm{Cl}_4(\theta)</math> (grün)

In der Mathematik ist die Clausen-Funktion (nach Thomas Clausen) durch das folgende Integral definiert:

<math>\operatorname{Cl}_2(\theta) = - \int_0^\theta \log|2 \sin(t/2)| \, \mathrm{d}t.</math>

Allgemeine Definition

Allgemeiner definiert man für komplexe <math>s</math> mit <math>\operatorname{Re}(s) > 1</math>:

<math>\operatorname{Cl}_s(\theta) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\theta)}{n^s} = \sin (\theta) + \frac{\sin (2\theta)}{2^s} + \frac{\sin (3\theta)}{3^s} + \frac{\sin (4\theta)}{4^s} + \cdots</math>

Diese Definition kann auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortgesetzt werden.

Verallgemeinerte Definition

Datei:Mplwp Glaisher-Clausen.svg

Beispiele von Glaisher-Clausen-Funktionen im Intervall <math>[0,\, 2 \cdot \pi]</math>.

Datei:Mplwp Standard Clausen.svg

Beispiele von Standard-Clausen-Funktionen im Intervall <math>[0, \, 2 \cdot \pi]</math>.

Eine verallgemeinerte Definition der Clausen-Funktionen für lautet:

<math>\operatorname{Cl_{z}}\left( \theta \right) = \begin{cases} \operatorname{S_{z}}\left( \theta \right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin\left( k \cdot \theta \right)}{k^{z}}\\ \operatorname{C_{z}}\left( \theta \right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos\left( k \cdot \theta \right)}{k^{z}}\\ \end{cases}</math><ref>Eric W. Weisstein: Clausen Function. Abgerufen am 15. Februar 2023 (). </ref>

Clausen-Funktionen der Form <math>\operatorname{S_{z}}\left( \theta \right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin\left( k \cdot \theta \right)}{k^{z}}</math> sind Glaisher-Clausen-Funktionen (nach James Whitbread Lee Glaisher) und <math>\operatorname{C_{z}}\left( \theta \right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos\left( k \cdot \theta \right)}{k^{z}}</math> sind Standard-Clausen-Funktionen.

Beziehung zum Polylogarithmus

Die Clausen-Funktion steht in Beziehung zum Polylogarithmus:

<math>\operatorname{Cl}_s(\theta)

= \operatorname{Im} (\operatorname{Li}_s(e^{i \theta}))</math>.

Kummers Beziehung

Ernst Kummer und Rogers führen folgende für <math>0\leq \theta \leq 2\pi</math> gültige Beziehung an:

<math>\operatorname{Li}_2(e^{i \theta}) = \zeta(2) - \theta(2\pi-\theta)/4 + i\operatorname{Cl}_2(\theta)</math>

Beziehung zu den Dirichlet L-Funktionen

Für rationale Werte von <math>\theta/\pi</math> kann die Funktion <math>\sin(n\theta)</math> als periodischer Orbit eines Elementes einer zyklischen Gruppe aufgefasst werden. Folglich kann <math>\operatorname{Cl}_s(\theta)</math> als einfache Summe aufgefasst werden, welche die hurwitzsche Zeta-Funktion beinhaltet. Das erlaubt es, Beziehungen zwischen bestimmten dirichletschen L-Funktionen einfach zu berechnen.

Die Clausen-Funktion als eine Regularisierungs-Methode

Die Clausen-Funktion kann auch als Methode betrachtet werden, um folgenden divergenten Fourier-Reihen eine Bedeutung zu geben:

<math>\sin(\theta ) +2\sin(2\theta ) + 3\sin(3\theta) + \dots </math>

was mit <math>\operatorname{Cl}_{-1}(\theta) </math> bezeichnet werden kann. Durch Integration erhält man:

<math> \cos(\theta) + \cos(2\theta) + \cos(3 \theta) + \dots= -\int d{\theta} \operatorname{Cl}_{-1}(\theta) </math>

Dieses Ergebnis kann durch analytische Fortsetzung für alle negativen <math>s</math> verallgemeinert werden.

Reihenentwicklung

Eine Reihenentwicklung für die Clausen-Funktion (für <math>|\theta|<2\pi</math>) ist

<math>\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} =

1-\log|\theta| + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^{2n} \text{.} </math>

<math>\zeta(s)</math> ist dabei die riemannsche Zeta-Funktion. Eine schneller konvergierende Reihe ist

<math>\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} =

3-\log\left[|\theta| \left(1-\frac{\theta^2}{4\pi^2}\right)\right] -\frac{2\pi}{\theta} \log \left( \frac{2\pi+\theta}{2\pi-\theta}\right) +\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^{2n} \text{.} </math>

Die Konvergenz wird dadurch sichergestellt, dass <math>\zeta(n)-1</math> für große <math>n</math> schnell gegen 0 konvergiert.

Spezielle Werte

Allgemeine Spezielle Fälle

Einige Spezialfälle sind gegeben durch:<ref>Eric W. Weisstein: Clausen Function. Abgerufen am 15. Februar 2023 (). </ref>

<math>\begin{align} \operatorname{S_{1}}\left( \theta \right) &= \frac{1}{2} \cdot \pi - \frac{1}{2} \cdot \theta\\ \operatorname{S_{3}}\left( \theta \right) &= \frac{1}{6} \cdot \pi^{2} \cdot \theta - \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot \theta^{2} + \frac{1}{12} \cdot \theta^{3}\\ \operatorname{S_{5}}\left( \theta \right) &= \frac{1}{90} \cdot \pi^{4} \cdot \theta - \frac{1}{36} \cdot \pi^{2} \cdot \theta^{3} + \frac{1}{48} \cdot \pi \cdot \theta^{4} - \frac{1}{240} \cdot \theta^{5}\\ \operatorname{C_{2}}\left( \theta \right) &= \frac{1}{6} \cdot \pi^{2} \cdot \theta - \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot \theta + \frac{1}{4} \cdot \theta^{2}\\ \operatorname{C_{4}}\left( \theta \right) &= \frac{1}{90} \cdot \pi^{4} \cdot \theta - \frac{1}{12} \cdot \pi^{2} \cdot \theta^{2} + \frac{1}{12} \cdot \pi \cdot \theta^{3} - \frac{1}{48} \cdot \theta^{4}\\ \end{align}</math>

(für <math>0 \leq \theta \leq 2 \cdot \pi</math>)

Weitere Spezialfälle sind:

<math>\begin{align} \operatorname{S_{n}}\left( \theta \right) &= \frac{i}{2} \cdot \left[ \operatorname{Li_{n}}\left( \exp\left( - \theta \cdot i \right) \right) - \operatorname{Li_{n}}\left( \exp\left( \theta \cdot i \right) \right) \right]\\ \operatorname{C_{n}}\left( \theta \right) &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \operatorname{Li_{n}}\left( \exp\left( - \theta \cdot i \right) \right) + \operatorname{Li_{n}}\left( \exp\left( \theta \cdot i \right) \right) \right]\\ \end{align}</math>

wobei <math>\operatorname{Li_{n}}</math> der Polylogarithmus ist,

<math>\operatorname{Ti_{2}}\left( \tan\left( \theta \right) \right) = \theta \cdot \log\left( \tan\left( \theta \right) \right) + \frac{1}{2} \cdot \operatorname{Cl_{2}}\left( 2 \cdot \theta \right) + \frac{1}{2} \cdot \operatorname{Cl_{2}}\left( \pi - 2 \cdot \theta \right)</math>

für <math>0 \leq \tan\left( \theta \right) \leq 1</math> wobei <math>\operatorname{Ti_{2}}</math> das Arkustangensintegral ist,

<math>\operatorname{Cl}_{2}(2\pi z) = 2\pi \log \left( \frac{G(1-z)}{G(1+z)} \right) +2\pi z \log \left( \frac{\pi}{ \sin \pi z } \right) </math>

<math>\operatorname{Cl}_{2}(2\pi z) = 2\pi \log \left( \frac{G(1-z)}{G(z)} \right) -2\pi \log \Gamma(z)+2\pi z \log \left( \frac{\pi}{ \sin \pi z } \right) </math>

wobei <math>G</math> Barnessche G-Funktion und <math>\Gamma</math> die Gammafunktion ist,

<math>\operatorname{Cl}_2(\theta) = \mathcal{L}s_2^{0}(\theta) </math><ref>Eric W. Weisstein: Log Sine Function. Abgerufen am 15. Februar 2023 (). </ref>,

wobei <math>\mathcal{L}s_2^{0} </math> der verallgemeinerte Logsinus <math>{\displaystyle {\mathcal {L}}s_{n}^{m}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }x^{m}\log ^{n-m-1}\left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx} </math> ist

<math>\operatorname{Cl}_s\left(\frac{\pi}{2}\right)=\beta(s)</math>

wobei <math>\beta(s)</math> die dirichletsche Beta-Funktion ist.

Spezifische Fälle

Einige spezielle Werte sind:

<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)=K</math>,

<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{3}\right)=3\pi \log\left(

\frac{G\left(\frac{2}{3}\right)}{ G\left(\frac{1}{3}\right)} \right)-3\pi \log \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)+\pi \log \left(\frac{ 2\pi }{\sqrt{3}}\right)</math>,

<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{2\pi}{3}\right)=2\pi \log\left(

\frac{G\left(\frac{2}{3}\right)}{ G\left(\frac{1}{3}\right)} \right)-2\pi \log \Gamma\left(\frac{1}{3}\right) +\frac{2\pi}{3} \log \left(\frac{ 2\pi }{\sqrt{3}}\right)</math>,

<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{4}\right)=

2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{7}{8}\right)}{G\left(\frac{1}{8}\right)} \right) -2\pi \log \Gamma\left(\frac{1}{8}\right)+\frac{\pi}{4}\log \left( \frac{2\pi}{\sqrt{2-\sqrt{2}}} \right)</math>,

<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{3\pi}{4}\right)=

2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{5}{8}\right)}{G\left(\frac{3}{8}\right)} \right) -2\pi \log \Gamma\left(\frac{3}{8}\right)+\frac{3\pi}{4}\log \left( \frac{2\pi}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} \right)</math>,

<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{6}\right)=

2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{11}{12}\right)}{G\left(\frac{1}{12}\right)} \right) -2\pi \log \Gamma\left(\frac{1}{12}\right)+\frac{\pi}{6}\log \left( \frac{2\pi \sqrt{2} }{\sqrt{3}-1} \right)</math> und

<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{5\pi}{6}\right)=

2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{7}{12}\right)}{G\left(\frac{5}{12}\right)} \right) -2\pi \log \Gamma\left(\frac{5}{12}\right)+\frac{5\pi}{6}\log \left( \frac{2\pi \sqrt{2} }{\sqrt{3}+1} \right)</math>

wobei K die catalansche Konstante ist.

Einzelnachweise

<references />