Nagel-Punkt

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Nagel-Punkt N

Der Nagel-Punkt, benannt nach dem deutschen Mathematiker Christian Heinrich von Nagel (1803–1882), der 1835/36 die Existenz dieses Punktes aufzeigte, gehört zu den besonderen Punkten eines Dreiecks. Für ein gegebenes Dreieck ABC betrachtet man die Punkte D, E und F, in denen die Ankreise die Seiten des Dreiecks berühren. Verbindet man diese Berührpunkte mit den gegenüber liegenden Ecken des Dreiecks (also mit A, B bzw. C), so schneiden sich diese Verbindungsstrecken in einem Punkt N. Dieser wird als Nagel-Punkt des Dreiecks bezeichnet.<ref>Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 180. </ref>

Eigenschaften

• Betrachtet man außer dem Nagel-Punkt N des Dreiecks ABC auch den Inkreismittelpunkt I und den Schwerpunkt S, dann liegen die Punkte N, S und I auf einer Geraden, der Nagel-Geraden, und es gilt <math>\overline{NS} : \overline{SI} = 2 : 1</math>, wobei der Schwerpunkt S zwischen den Punkten N und I liegt.<ref name="Grundmann-Nagelgerade">Wolfgang Grundmann: Dreieckgeometrie. AVM, München 2010, ISBN 978-3-89975-808-5, S. 160–161. </ref> In dieser Eigenschaft weist die Nagel-Gerade eine Analogie zur eulerschen Geraden auf.
• Der Spieker-Punkt ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von Nagel-Punkt und Inkreismittelpunkt und liegt somit ebenfalls auf der Nagel-Geraden.<ref name="Grundmann-Nagelgerade" />
• Der Nagelpunkt und der Gergonne-Punkt sind isotomisch konjugiert.<ref name="ETC-X8">Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, X(8). Abgerufen am 22. Januar 2025 (). </ref>

Koordinaten

Die trilinearen Koordinaten des Nagel-Punkts (<math>X_8</math>) sind (gleichwertig)

<math>\frac{b+c-a}{a} \, : \, \frac{c+a-b}{b} \, : \, \frac{a+b-c}{c}</math> oder

<math>\csc^2\frac{\alpha}{2} : \csc^2\frac{\beta}{2} : \csc^2\frac{\gamma}{2}</math>.<ref name="ETC-X8" />

Die baryzentrischen Koordinaten sind (gleichwertig)

<math>(b+c-a) \, : \, (c+a-b) \, : \, (a+b-c)</math> oder

<math>\cot\frac{\alpha}{2} : \cot\frac{\beta}{2} : \cot\frac{\gamma}{2}</math>.<ref name="ETC-X8" />

Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel.

Literatur

• Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv 71, 1987, 2, S. 230–233
• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 225–229 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
• Edwin Kozniewski, Renata A. Gorska: Gergonne and Nagel Points for Simplices in the n-Dimensional Space. Journal for Geometry and Graphics, Band 4, 2000, Nr. 2, S. 119–127
• Victor Thébault: Nagel Point in the Tetrahedron. The American Mathematical Monthly, Band 54, Nr. 5 (Mai, 1947), S. 275–276 ()

Weblinks

• Eric W. Weisstein. „Nagel Point.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource
• The Nagel and Gergonne Points
• Heinz Klemenz: Merkwürdiges im Dreieck

Einzelnachweise

<references />