Gergonne-Punkt
Der Gergonne-Punkt eines Dreiecks (benannt nach dem französischen Mathematiker Joseph Diez Gergonne) ist ein ausgezeichneter Punkt im Inneren eines Dreiecks. Er hat die Kimberling-Nummer <math>X_7</math>.
Definition
Der Inkreis eines Dreiecks <math>ABC</math> berühre die Seiten des Dreiecks in den Punkten <math>X</math>, <math>Y</math> und <math>Z</math>. Gergonne zeigte, dass sich die drei Verbindungsstrecken zwischen diesen Berührungspunkten und der jeweils gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks in einem Punkt, dem Gergonne-Punkt <math>G</math>, schneiden.<ref name="Grundmann-Gergonnepunkt">Wolfgang Grundmann: Dreieckgeometrie. AVM, München 2010, ISBN 978-3-89975-808-5, S. 82.</ref> Das Dreieck <math>XYZ</math> wird als Gergonne-Dreieck bezeichnet.
Dass sich diese drei Strecken in einem Punkt schneiden, folgt aus der Gleichheit von Tangentenabschnitten (<math>\overline{AZ} = \overline{AY}</math>, <math>\overline{BX} = \overline{BZ}</math>, <math>\overline{CY} = \overline{CX}</math>) und dem Satz von Ceva.
Eigenschaften
- Der Gergonne-Punkt liegt mit dem Schwerpunkt und dem Mittenpunkt (in dieser Reihenfolge) auf einer Geraden.<ref name="Grundmann-Gergonnepunkt" /> Dabei gilt <math>\overline{GS} : \overline{SM} = 2 : 1</math>.<ref>Eric W. Weisstein: Gergonne Point. In: MathWorld (englisch). </ref>
- Gergonne-Punkt und Nagel-Punkt sind isotomisch konjugiert.<ref name="ETC-X7">Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, X(7). Abgerufen am 21. Januar 2025.</ref>
Koordinaten
Die trilinearen Koordinaten des Gergonne-Punkts (<math>X_7</math>) sind (gleichwertig)
- <math>\frac{bc}{b+c-a} \, : \, \frac{ca}{c+a-b} \, : \, \frac{ab}{a+b-c}</math> oder
- <math>\sec^2\frac{\alpha}{2} \, : \, \sec^2\frac{\beta}{2} \, : \, \sec^2\frac{\gamma}{2}.</math><ref name="ETC-X7" />
Die baryzentrischen Koordinaten sind (gleichwertig)
- <math>\frac{1}{b+c-a} \, : \, \frac{1}{c+a-b} \, : \, \frac{1}{a+b-c}</math> oder
- <math>\tan\frac{\alpha}{2} : \tan\frac{\beta}{2} : \tan\frac{\gamma}{2}.</math><ref name="ETC-X7" />
Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel.
Literatur
- Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv, 71, 1987, 2, S. 230–233.
- Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 978-3-662-53034-4, S. 78.
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Gergonne Point. In: MathWorld (englisch).
- Gergonne-Punkt – Visualisierung mit GeoGebra.
Einzelnachweise
<references /> fr:Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle#Point de Gergonne