Smash-Produkt

Das Smash-Produkt bezeichnet eine topologische Konstruktion. Es ist vor allem in der Homotopietheorie wichtig.

Definition

Für zwei gegebene punktierte topologische Räume <math>(X, x_0)</math> und <math>(Y, y_0)</math> mit Basispunkten <math>x_0</math> und <math>y_0</math> betrachtet man zunächst den Produktraum <math>X\times Y</math> mit der Identifizierung <math>(x,y_0)\sim(x_0,y)</math> für alle <math>x\in X</math> und alle <math>y\in Y</math>. Der Quotient von <math>X\times Y</math> unter dieser Identifizierung heißt das Smash-Produkt von <math>(X, x_0)</math> und <math>(Y, y_0)</math> und wird mit <math>X \wedge Y</math> bezeichnet. Es hängt in der Regel von den gewählten Basispunkten ab.

Wenn man den Raum <math>X</math> mit <math>X\times\left\{y_0\right\}</math> und <math>Y</math> mit <math>\left\{x_0\right\}\times Y</math> identifiziert, so schneiden sich <math>X</math> und <math>Y</math> in <math>(x_0,y_0)</math> und das Wedge-Produkt <math>\vee</math> (also ihre disjunkte Vereinigung) liefert den Unterraum <math>X\vee Y</math> von <math>X\times Y</math>. Das Smash-Produkt ist dann der Quotient

<math>X \wedge Y = X \times Y / X \vee Y</math>.<ref name=hatcher10>Allen Hatcher: Algebraic Topology. University Press, Cambridge 2000, ISBN 0-521-79540-0, S. 10 (Online).</ref>

Beispiele

Das Smash-Produkt von zwei Sphären <math>S^m</math> und <math>S^n</math> ist homöomorph zur Sphäre <math>S^{m+n}</math>. Das Smash-Produkt von zwei Kreisen ist demnach eine 2-Sphäre, die sich als Quotient aus einem Torus ergibt.<ref name=hatcher10 />
Mit dem Smash-Produkt kann man die sogenannte reduzierte Einhängung erhalten als:

<math> \Sigma X = S^1 \wedge X</math>.<ref name=hatcher12>Allen Hatcher: Algebraic Topology. University Press, Cambridge 2000, ISBN 0-521-79540-0, S. 12 (Online).</ref>

Eigenschaften

Das Smash-Produkt ist vor allem in der Homotopietheorie wichtig, in der es die Homotopie-Kategorie zu einer symmetrischen monoidalen Kategorie macht, mit der 0-Sphäre (bestehend aus zwei Punkten) als neutralem Element.<ref>smash product in nLab. Abgerufen am 14. Mai 2023. </ref> Das Smash-Produkt ist kommutativ bis auf Homöomorphie und assioziativ bis auf Homotopie, das heißt <math>X\wedge(Y\wedge Z)</math> und <math>(X\wedge Y)\wedge Z</math> sind zwar nicht unbedingt homöomorph, aber homotopieäquivalent.

In der Kategorie der punktierten topologischen Räume besitzt das Smash-Produkt folgende Eigenschaft, die analog zum Tensorprodukt von Moduln ist. Für <math>A</math> lokalkompakt gilt die Adjunktionsformel

<math>\mathrm{Top}_{\bullet} (X\wedge A,Y) \cong \mathrm{Top}_{\bullet} (X,\mathrm{Top}_{\bullet}(A,Y))\, ,</math>

wobei <math>Top_*(A,Y)</math> den Raum der Basispunkt-erhaltenden stetigen Abbildungen versehen mit der kompakt-offenen Topologie bezeichnet. Wenn man für <math>A</math> den Einheitskreis <math>S^1</math> nimmt, so ergibt sich als Spezialfall, dass die reduzierte Einhängung <math>\Sigma</math> links adjungiert zum Schleifenraum <math>\Omega</math> ist.

Einzelnachweise