Kiepert-Hyperbel
Die Kiepert-Hyperbel eines Dreiecks, benannt nach Ludwig Kiepert, ist eine spezielle Hyperbel, die durch die drei Eckpunkte des Dreiecks und eine Reihe seiner ausgezeichneten Punkte verläuft.
Definition
An den Seiten eines Dreiecks <math>\triangle ABC </math> werden drei ähnliche gleichschenklige Dreiecke <math> \triangle ABF </math>, <math> \triangle BCD </math> und <math> \triangle ACE </math> angefügt, und zwar jeweils mit einer Seite des gegebenen Dreiecks als Basis. Dann bilden die Spitzen der drei gleichschenkligen Dreiecke ein neues Dreieck <math> \triangle DEF </math>, das als Kiepert-Dreieck bezeichnet wird. Das Kiepert-Dreieck <math> \triangle DEF </math> und das Ausgangsdreieck <math> \triangle ABC </math> sind aufgrund des Satzes von Kiepert perspektivisch, das heißt, die Geraden <math>FC </math>, <math>AE </math> und <math>BD </math> schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt <math> P</math>, dem Perspektivitätszentrum.
Die Kiepert-Hyperbel des Dreiecks <math> \triangle ABC </math> ist nun definiert als der geometrische Ort aller dieser Perspektivitätszentren, die man erhält, wenn man die Basiswinkel der ähnlichen Dreiecke alle Winkel zwischen <math>-90^\circ </math> und <math>90^\circ </math> durchlaufen lässt.
Bezeichnungen und Koordinaten
Der Basiswinkel <math>\phi</math> der angefügten gleichschenkligen Dreiecke wird positiv genommen, wenn diese nach außen gerichtet sind, andernfalls negativ. Das zugehörige Kiepert-Dreieck wird mit <math>\mathcal K_\phi</math> bezeichnet, das Perspektivitätszentrum mit <math>K_\phi</math>.
Die baryzentrischen Koordinaten von <math>K_\phi</math> sind
- <math> \left( \frac{1}{S_A + S_\phi} : \frac{1}{S_B + S_\phi}: \frac{1}{S_C + S_\phi} \right).</math>
Dabei werden die Abkürzungen <math>S_A = \tfrac{b^2+c^2-a^2}{2}</math> (<math>S_B, S_C</math> entsprechend) und <math>S_\phi = 2 \Delta \cot\phi</math> der Conway-Dreiecksnotation verwendet. <math>a, b, c</math> stehen für die Seitenlängen, <math>\Delta</math> für den Flächeninhalt des Dreiecks.
Die Formel für die Kiepert-Hyperbel in baryzentrischen Koordinaten ist
- <math>(b^2-c^2)yz + (c^2-a^2)xz + (a^2-b^2)xy=0.\,</math>
Der Mittelpunkt der Kiepert-Hyperbel hat die baryzentrischen Koordinaten
- <math>(b^2-c^2)^2 : (c^2-a^2)^2 : (a^2-b^2)^2,\,</math>
die Kimberling-Nummer X(115) und liegt auf dem Feuerbach-Kreis (Neun-Punkte-Kreis).<ref>Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, X(115). Abgerufen am 20. Januar 2025 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)).</ref>
Eigenschaften
Bei der Kiepert-Hyperbel handelt es sich um eine gleichseitige Hyperbel, die unter anderem durch folgende Punkte geht:
- die Ecken des gegebenen Dreiecks,<ref name="Eddy-Fritsch-193">R. H. Eddy, R. Fritsch: The Conics of Ludwig Kiepert. In: Mathematics Magazine. Band 67, Nr. 3, Juni 1994, S. 193 (uni-muenchen.de [PDF]).</ref>
- den Höhenschnittpunkt,<ref name="Eddy-Fritsch-193" />
- den Schwerpunkt,<ref name="Eddy-Fritsch-193" />
- den Spieker-Punkt,
- die beiden Napoleon-Punkte,
- die beiden Fermat-Punkte,<ref name="Eddy-Fritsch-193" />
- den Tarry-Punkt,
- den dritten Brocard-Punkt,<ref name="Eddy-Fritsch-193" />
- die beiden Vecten-Punkte.
Die Kiepert-Hyperbel ist isogonal konjugiert zur Brocard-Achse.
Literatur
- R. H. Eddy, R. Fritsch: The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle. Mathematics Magazine, Band 67, Nr. 3 (Juni, 1994), S. 188–205
- Cristoph Pöppe: Napoleons Punkt und Kieperts Hyperbel. In: Spektrum der Wissenschaft, August 2017
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Kiepert Hyperbola. In: MathWorld (englisch).
- Kiepert-Hyberbel – Animation mit GeoGebra
Einzelnachweise
<references />