Zentrierte Kubikzahl
Eine zentrierte Kubikzahl ist eine Zahl, die die Summe zweier aufeinanderfolgender Kubikzahlen ist. Beispielsweise ist <math>35 = 8 + 27 = 2^3 + 3^3</math> eine zentrierte Kubikzahl. Die ersten zentrierten Kubikzahlen sind
Die zentrierten Kubikzahlen sind die räumliche Erweiterung der zentrierten Quadratzahlen in die dritte Dimension.
Berechnung
Die <math>n</math>-te zentrierte Kubikzahl <math>ZK_n</math> berechnet sich nach der Formel
- <math>ZK_n = n^3 + (n-1)^3 = (2n-1)(n^2-n+1) = 2n^3 - 3n^2 + 3n - 1</math>
Beziehungen zu anderen figurierten Zahlen
Die <math>n</math>-te zentrierte Kubikzahl ist die Summe der ersten <math>n</math> zentrierten Quadratzahlen.
- <math>ZK_{n} = \sum_{k=1}^{n} ZQ_{k} = ZQ_{1} + ... + ZQ_{n}</math>
Eigenschaften
- Alle zentrierten Kubikzahlen sind ungerade.
- Es gilt, wobei <math>Pyr_n</math> die <math>n</math>-te quadratische Pyramidalzahl ist,:
- <math>ZK_n = Pyr_n +4 \cdot Pyr_{n-1} + Pyr_{n-2}.</math>
- Die Summe der Kehrwerte der zentrierten Kubikzahlen, also <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{ZK_k}</math> ist konvergent.
- Die Form von zentrierten Kubikzahlen tritt in der Natur im Aufbau von Atomen auf.
Erzeugende Funktion
Die Funktion
- <math>\frac{x(x^3+5x^2+5x+1)}{(x-1)^4}=x+9x^2+35x^3+91x^4+\ldots</math>
enthält in ihrer Reihenentwicklung auf der linken Seite der Gleichung die Folge der zentrierten Kubikzahlen. Sie wird deshalb als erzeugende Funktion der Folge der zentrierten Kubikzahlen bezeichnet.