Witt-Algebra

Die Witt-Algebra wird in der Mathematik untersucht, es handelt sich um eine spezielle Lie-Algebra. Sie findet Verwendung in der mathematischen Physik, wie in der Stringtheorie und konformen Feldtheorie. Namensgeber ist der deutsche Mathematiker Ernst Witt.

Definition

Sei <math>L_j</math> mit <math>j</math> als ganzzahligem Index eine Basis eines Vektorraumes. Die durch die Kommutatorrelation

definierte Lie-Algebra heißt Witt-Algebra. Man erhält solche Algebren als Derivationen-Algebra über dem Ring der Laurent-Polynome.

Realisierung durch Vektorfelder

In den meisten Anwendungen betrachtet man Derivationen über <math>\Complex</math>. Man kann die Witt-Algebra wie folgt durch komplexwertige Vektorfelder realisieren:

<math> L_n:= - z^{n+1}\frac{\partial}{\partial z} </math>

sl(2,K) als Unteralgebra

Aus obigen Kommutatorrelationen ergibt sich sofort, dass für <math>n>0</math> die von <math>L_{-n},L_0,L_n</math> erzeugte Unter-Lie-Algebra gleich <math>K\cdot L_{-n}+K\cdot L_0 + K\cdot L_n</math> ist. Diese drei-dimensionale Unter-Lie-Algebra ist isomorph zur sl(2,K).

Zentrale Erweiterung

Wenn man die Witt-Algebra durch den Kozykel

<math> \omega(L_m,L_n):=\frac{1}{12}(n^3-n)\delta_{m+n,0} </math>

zentral erweitert, so erhält man die Virasoro-Algebra.

Quellen

Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5