Wiener-Filter

Das Wiener-Filter oder auch Wiener-Kolmogoroff-Filter ist ein Filter zur Signalverarbeitung, welches in den 1940er Jahren von Norbert Wiener und Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow unabhängig voneinander entwickelt<ref>Kristian Kroschel: Statistische Nachrichtentheorie. Signal- und Mustererkennung, Parameter- und Signalschätzung. 3., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-61306-4.</ref> und 1949 durch Norbert Wiener publiziert wurde.<ref name=":0">Norbert Wiener: Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. Wiley, New York NY 1949.</ref> Es führt, gemessen an der mittleren quadratischen Abweichung, eine optimale Rauschunterdrückung durch.<ref name=":0" />

Datei:Wiener filter - my dog.JPG

Anwendung des Wiener-Filters zur Rauschunterdrückung. (links: Original, Mitte: verrauschtes Bild, rechts: gefiltertes Bild)

Eigenschaften

Das Wiener-Filter wird durch die folgenden Eigenschaften beschrieben:<ref>Robert Grover Brown, Patrick Y. C. Hwang: Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering. With MATLAB exercises and solutions. 3. Auflage. Wiley u. a., New York NY 1996, ISBN 0-471-12839-2.</ref>

Voraussetzung: Das Signal und das additive Rauschen gleichen stochastischen Prozessen mit bekannter Spektralverteilung oder bekannter Autokorrelation und Kreuzkorrelation
Fehlerkriterium: Minimale mittlere quadratische Abweichung

Modelleigenschaften

Als Eingangssignal des Wiener-Filters wird ein Signal <math>s\left(t\right)</math> gestört durch ein additives Rauschen <math>n\left(t\right)</math> vorausgesetzt:

Das Ausgangssignal <math>x\left(t\right)</math> ergibt sich durch die Faltung des Eingangssignals mit der Filterfunktion <math>g\left(\tau\right)</math>:

<math>x(t) = g(\tau) * y(t) = g(\tau) * \left(s(t) + n(t)\right).</math>

Fehler <math>e(t) = s\left(t + d\right) - x(t)</math> und quadratischer Fehler <math>e^2(t) = s^2\left(t + d\right) - 2s(t + d)x(t) + x^2(t)</math> ergeben sich aus der Abweichung des Ausgangssignals vom zeitversetzten Eingangssignal <math>s\left(t + d\right).</math> Abhängig von dem Wert d des Zeitversatzes können unterschiedliche Problemstellungen betrachtet werden:

Für <math>\left.d > 0\right.</math> : Prädiktion
Für <math>\left.d = 0\right.</math> : Filterung
Für <math>\left.d < 0\right.</math> : Glättung

Stellt man <math>x\left(t\right)</math> als Faltungsintegral dar:

<math>x(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)\left[s(t - \tau) + n(t - \tau)\right]d\tau},</math>

so ergibt sich der Erwartungswert des quadratischen Fehlers zu:

<math>E(e^2) = R_s(0) - 2\int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{y\,s}(\tau + d)d\tau} + \int\limits_{-\infty}^{\infty}{\int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)g(\theta)R_y(\tau - \theta)d\tau}d\theta},</math>

wobei

<math>R_s</math> die Autokorrelation der Funktion <math>\left.s(t)\right.,</math>
<math>R_y</math> die Autokorrelation der Funktion <math>\left.y(t)\right.,</math>
<math>R_{y\,s}</math> die Kreuzkorrelation der Funktionen <math>\left.y(t)\right.</math> und <math>\left.s(t)\right.</math> sind.

Wenn das Signal <math>s\left(t\right)</math> und das Rauschen <math>n\left(t\right)</math> unkorreliert sind (und damit die Kreuzkorrelation gleich Null ist), ergeben sich folgende Vereinfachungen

<math>R_{y\,s} = R_s,</math>
<math>R_y = R_s + R_n.</math>

Das Ziel ist es nun, <math>\left.E(e^2)\right.</math> durch Bestimmung eines optimalen <math>g\left(\tau\right)</math> zu minimieren.

Stationäre Lösungen

Das Wiener-Filter hat jeweils eine Lösung für den kausalen und den nicht-kausalen Fall.

Nicht-kausale Lösung

<math>G(s) = \frac{S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_x(s)},</math>

wobei <math>S_{x,s}(s)</math> und <math>S_x(s)</math> jeweils die Spektrale Leistungsdichte als Laplacetransformation der Kreuz- bzw. der Autokorrelation <math>R_{x\,s}</math> und <math>R_x</math> ist.

Unter der Voraussetzung, dass <math>g\left(t\right)</math> optimal ist, vereinfacht sich die Gleichung, die das Minimum der mittleren quadratischen Abweichung (Minimum Mean-Square Error, MMSE) beschreibt, zu

<math>E(e^2) = R_s(0) - \int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{x,s}(\tau + d)d\tau}.</math>

Die Lösung <math>g\left(t\right)</math> ist die inverse beidseitige Laplacetransformation von <math>\left.G(s)\right.</math>.

Kausale Lösung

Wobei

<math>\left.H(s)\right.</math> die positive Lösung der inversen Laplace-Transformation von <math>\frac{S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_x^{-}(s)}</math>,
<math>S_x^{+}(s)</math> die positive Lösung der inversen Laplace-Transformation von <math>\left.S_{x}(s)\right.</math> und
<math>S_x^{-}(s)</math> die negative Lösung der inversen Laplace-Transformation von <math>\left.S_x(s)\right.</math> ist.

Siehe auch

Einzelnachweise