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Kreuzkorrelation

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

In der Signalanalyse wird die Kreuzkorrelationsfunktion <math> R_{xy}(\tau) </math> zur Beschreibung der Korrelation zweier Signale <math> x(t) </math> und <math> y(t) </math> bei unterschiedlichen Zeitverschiebungen <math>\tau</math> zwischen den beiden Signalen eingesetzt. Kreuz steht hierbei für den Fall <math> x \neq y </math> der Funktion:

<math> R_{xy} (t_1,t_2) = E[\textbf{X}(t_1) \cdot \textbf{Y}(t_2)],</math>

wobei E der Erwartungswert ist.

Handelt es sich um einen schwach stationären Prozess, so ist die Korrelationsfunktion nicht mehr von der Wahl der Zeitpunkte <math>t_1</math> und <math>t_2</math>, sondern nur von deren Differenz <math>\tau = t_2 - t_1</math> abhängig.

Die Kreuzkorrelations-Operation ist identisch mit der komplex konjugierten Faltung <math>\overline{f(-t)}</math>. Insbesondere im Fachgebiet Maschinelles Lernen, wo man mit Convolutional Neural Networks arbeitet, wird aufgrund dieser Identität meistens die Kreuzkorrelation verwendet, diese aber als Faltung bezeichnet, weil sie leichter zu implementieren ist.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|: }}{{#if:|{{#if:Conv2d|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Conv2d}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://pytorch.org/docs/stable/generated/torch.nn.Conv2d.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Conv2d}}}}%7C[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://pytorch.org/docs/stable/generated/torch.nn.Conv2d.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Conv2d}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Dokumentation PyTorch{{#if: 2021-02-05 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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Definition

Es gilt für Energiesignale:

<math>R_{xy}(\tau) = (x \star y)(\tau) = (x^*(-t) * y(t))(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x^*(t) \, y(t + \tau) \,\mathrm dt</math>

und für Leistungssignale:

<math>R_{xy}(\tau) = (x \star y)(\tau) = (x^*(-t) * y(t))(\tau) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} x^*(t) \, y(t + \tau) \,\mathrm dt</math>

mit <math>x^*</math> als der konjugiert komplexen Funktion von <math>x</math>, dem Operatorsymbol <math>\star</math> als Kurzschreibweise der Kreuzkorrelation und <math>*</math> als dem der Faltungsoperation.

Analog wird die diskrete Kreuzkorrelation, diese spielt im Bereich der diskreten Signalverarbeitung eine wesentliche Rolle, mit der Folge <math>[m]</math> und einer Verschiebung <math>n</math> festgelegt als:

<math>R_{xy}[n]</math> = <math>(x \star y)[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x^*[m]\ y[m+n]</math> (Energiesignale)
<math>R_{xy}[n]</math> = <math>(x \star y)[n] = \lim_{M \to \infty} \frac{1}{2M + 1}\sum_{m=-M}^{M} x^*[m]\ y[m+n]</math> (Leistungssignale)

In der digitalen Signalverarbeitung wiederum ist eine endliche Mittelung mit Argumenten beginnend bei Index 0 auf Grund der Architektur von Rechnerregistern erforderlich, wovon es eine vor- und eine unvorgespannte Version gibt:

<math> R_{xy}[m] :=

\begin{cases} \ \;\, \frac{1}{N-|m|} \sum_{n=0}^{N-m-1} x[n]y[n+m]&\text{für } m \ge 0\\ \ \;\, \frac{1}{N-|m|} \sum_{n=-m}^{N-1} x[n]y[n+m] &\text{für } m < 0 \end{cases} </math> (Vorspannversion)

<math> R_{xy}[m] :=

\begin{cases} \ \;\, \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-m-1} x[n]y[n+m]&\text{für } m \ge 0\\ \ \;\, \frac{1}{N} \sum_{n=-m}^{N-1} x[n]y[n+m] &\text{für } m < 0 \end{cases} </math> (unvorgespannte Version)

Die Kreuzkorrelation ist mit der Kreuzkovarianz eng verwandt.

Eigenschaften

Datei:Comparison convolution correlation de.svg
Zusammenhang zwischen Faltung, Kreuzkorrelation und Autokorrelation.

Für alle <math>\tau</math> gilt

<math>R_{xy}(\tau) = R_{yx}(-\tau)</math>

sowie

<math>\left| R_{xy}(\tau) \right| \leq \sqrt{R_{xx}(0)R_{yy}(0)} \leq \frac{1}{2} (R_{xx}(0)+ R_{yy}(0))</math>

und

<math>\lim \limits_{\tau \to \pm \infty} R_{xy}(\tau)=0</math>

mit den Autokorrelationsfunktionen <math>R_{xx}(\tau)</math> und <math>R_{yy}(\tau)</math>.

Sie zeigt z. B. Spitzen bei Zeitverschiebungen, die der Signallaufzeit vom Messort des Signals <math>x(t)</math> zum Messort des Signals <math>y(t)</math> entsprechen. Auch Laufzeitunterschiede von einer Signalquelle zu beiden Messorten können auf diese Weise festgestellt werden. Die Kreuzkorrelationsfunktion eignet sich daher besonders zur Ermittlung von Übertragungswegen und zur Ortung von Quellen.

Rechentechnisch wird die Kreuzkorrelationsfunktion in der Regel über die inverse Fourier-Transformation des Kreuzleistungsspektrums <math> S_{XY}(f) </math> ermittelt:

<math> R_{xy}(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S_{XY}(f) \, e^{\mathrm{i} 2 \pi f \tau} \,\mathrm df </math>

Verbindung mit der Kreuzkovarianz

Ist eines der Signale <math> x(t) </math> oder <math> y(t) </math> nullsymmetrisch, d. h. ihr Mittelwert über das Signal ist Null <math>( \bar{x}(t)=0 </math> oder <math> \bar{y}(t)=0 )</math>, ist die Kreuzkorrelation identisch mit der Kreuzkovarianz. Bekannte Vertreter der nullsymmetrischen Funktionen sind zum Beispiel die Sinus- und Kosinusfunktionen.

Literatur

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Weblinks

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       | #default= Der Wert des Parameters {{#if: webciteID | webciteID | ID }} muss entweder ein Zeitstempel der Form YYYYMMDDHHMMSS oder ein Schüsselwert mit 9 Zeichen oder eine 16-stellige Zahl sein!Vorlage:Webarchiv/Wartung/webcitation{{#if:  || }}
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  }}
          | {{#if: 
              | Vorlage:Webarchiv/Today
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                      | Vorlage:Webarchiv/Generisch
                      | {{#if: Kreuzkorrelation und Kombinatorik. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Kreuzkorrelation und Kombinatorik.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.mpi-magdeburg.mpg.de/people/kre/uni_sysbio/web/Skripte/statistik_vorles.pdf}} }}  
                 }}}}}}}}{{#if:
    | Vorlage:Webarchiv/archiv-bot
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     |all      = url=
     |opt      = text= wayback= webciteID= archive-is= archive-today= archiv-url= archiv-datum= ()= archiv-bot= format= original=
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     |template = Vorlage:Webarchiv
     |format   = *
     |preview  = 1
  }}{{#ifexpr: {{#if:20120711061734|1|0}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}} <> 1
    | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Genau einer der Parameter 'wayback', 'webciteID', 'archive-today', 'archive-is' oder 'archiv-url' muss angegeben werden.|1}}
  }}{{#if: 
    | {{#switch: {{#invoke:Webarchiv|getdomain|{{{archiv-url}}}}}
        | web.archive.org = 
          {{#if:  || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von Internet Archive erkannt, bitte Parameter 'wayback' benutzen.|1}} 
        | webcitation.org = 
          {{#if:  || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von WebCite erkannt, bitte Parameter 'webciteID' benutzen.|1}} 
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          {{#if:  || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von archive.today erkannt, bitte Parameter 'archive-today' benutzen.|1}}
      }}{{#if: 
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             | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Wert des Parameter 'archiv-datum' ist ungültig oder hat ein ungültiges Format.|1}}
          |  }} 
         | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Pflichtparameter 'archiv-datum' wurde nicht angegeben.|1}}
      }}
    | {{#if: 
         | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Parameter 'archiv-datum' ist nur in Verbindung mit 'archiv-url' angebbar.|1}}
      }}
  }}{{#if:{{#invoke:URLutil|isHostPathResource|http://www.mpi-magdeburg.mpg.de/people/kre/uni_sysbio/web/Skripte/statistik_vorles.pdf}}
    || {{#if:  || }}
  }}{{#if: Kreuzkorrelation und Kombinatorik.
    | {{#if: {{#invoke:WLink|isBracketedLink|Kreuzkorrelation und Kombinatorik.}}
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      }}
    | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Linktext_fehlt
  }}{{#switch: PDF; 201 kB
    |addlarchives|addlpages= {{#if:  || }}{{#if: 1 |Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter}}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: enWP-Wert im Parameter 'format'.|1}}
  }}{{#ifeq: {{#invoke:Str|find|http://www.mpi-magdeburg.mpg.de/people/kre/uni_sysbio/web/Skripte/statistik_vorles.pdf%7Carchiv}} |-1
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              | abendblatt.de | daserste.ndr.de | inarchive.com | webcitation.org = 
              | #default = {{#if:  || }}{{#if: 1 |Vorlage:Webarchiv/Wartung/URL}}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Archiv-URL im Parameter 'url' anstatt URL der Originalquelle. Entferne den vor der Original-URL stehenden Mementobestandteil und setze den Archivierungszeitstempel in den Parameter 'wayback', 'webciteID', 'archive.today' oder 'archive-is' ein, sofern nicht bereits befüllt.|1}}
            }} 
       }}
  }} mpi-magdeburg.mpg.de

Einzelnachweise

<references />

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