Weyl-Gruppe
In der Mathematik ist die Weyl-Gruppe ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Lie-Gruppen und Lie-Algebren und allgemeiner von Wurzelsystemen. Sie ist nach Hermann Weyl benannt, der 1925 ihre Bedeutung erkannte.
Weyl-Gruppe einer Lie-Gruppe
Es sei <math>G</math> eine halbeinfache Lie-Gruppe und
- <math>G=KAN</math>
ihre Iwasawa-Zerlegung (K ist eine kompakte Untergruppe, A eine abelsche und N eine nilpotente). Es seien <math>\mathcal{N}_G(A)</math> der Normalisator von <math>A</math> in <math>G</math> und <math>\mathcal{Z}_G(A)</math> der Zentralisator von <math>A</math> in <math>G</math>. Die Weyl-Gruppe ist definiert als
- <math>W=\mathcal{N}_G(A)/\mathcal{Z}_G(A)</math>.
Sie ist eine endliche Gruppe, die von Elementen der Ordnung 2 erzeugt wird.
Weyl-Gruppe einer kompakten Lie-Gruppe
Für jeden maximalen Torus <math>T\subset G</math> sei <math>\mathcal{N}_G(T)</math> und <math>\mathcal{Z}_G(T)</math> der Normalisator und Zentralisator von <math>T</math>, dann ist
- <math>W=\mathcal{N}_G(T)/\mathcal{Z}_G(T)=\mathcal{N}_G(T)/T</math>
die Weyl-Gruppe von <math>T</math>.
Weyl-Gruppe eines Wurzelsystems
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Es sei <math>R</math> ein Wurzelsystem in einem Vektorraum <math>V</math>, dann heißt die von den Spiegelungen an den von den Wurzeln erzeugten Hyperebenen
- <math>\left\{s_\Alpha: \Alpha\in R\right\}</math>
erzeugte Gruppe <math>W</math> die Weyl-Gruppe des Wurzelsystems.
Falls <math>G</math> eine halbeinfache Lie-Gruppe mit Lie-Algebra <math>\mathfrak{g}</math> ist, dann betrachtet man eine Cartan-Unteralgebra <math>\mathfrak{a}\subset\mathfrak{g}</math> und das dazugehörige Wurzelsystem <math>R</math>. Die Weyl-Gruppe von <math>(\mathfrak{a},R)</math> stimmt mit der Weyl-Gruppe von <math>G</math> überein.
Längstes Element
Das längste Element der Weyl-Gruppe (zu einem gegebenen Wurzelsystem) ist das Element maximaler Länge bzgl. des durch Spiegelungen an den von Wurzeln erzeugten Hyperebenen gegebenen Erzeugendensystems.
Beispiel
Die Weyl-Gruppe der speziellen linearen Gruppe <math>SL(n,\R)</math> ist die symmetrische Gruppe <math>S_n</math>. Das längste Element ist die Permutation <math>(1,2,\ldots,n-1,n)\to(n,n-1,\ldots,2,1)</math>.
Literatur
- Michael Davis: The Geometry and Topology of Coxeter Groups, ISBN 978-0-691-13138-2
Weblinks
- Alexander Kirillov: An introduction to Lie groups and Lie algebras, PDF (Kapitel 8)
- Encyclopedia of Mathematics, A. S. Fedenko