Weyl-Gleichung
Vorlage:Hinweisbaustein Die Weyl-Gleichung der Teilchenphysik, benannt nach Hermann Weyl, ist die Diracgleichung für masselose Teilchen mit Spin 1/2. Genaugenommen handelt es sich um zwei jeweils zweidimensionale Gleichungen.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:Lexikon der Physik: Weyl-Gleichung|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Lexikon der Physik: Weyl-Gleichung}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.spektrum.de/lexikon/physik/weyl-gleichung/15565%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Lexikon der Physik: Weyl-Gleichung}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.spektrum.de/lexikon/physik/weyl-gleichung/15565}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Lexikon der Physik: Weyl-Gleichung}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Spektrum{{#if: 2024-08-27 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
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Die Weyl-Gleichung wird bei der Beschreibung der schwachen Wechselwirkung verwendet. Entsprechend heißen Fermionen, die diese Gleichung erfüllen, Weyl-Fermionen.
Weyl-Fermionen wurden erstmals 2015, 86 Jahre nachdem Hermann Weyl sie vorhergesagt hatte, experimentell nachgewiesen.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Rainer Scharf|Rainer Scharf: }}{{#if:|{{#if:Weyl-Fermion mehrfach nachgewiesen|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Weyl-Fermion mehrfach nachgewiesen}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.weltderphysik.de/gebiet/teilchen/nachrichten/2015/weyl-fermion-mehrfach-nachgewiesen/%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Weyl-Fermion mehrfach nachgewiesen}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.weltderphysik.de/gebiet/teilchen/nachrichten/2015/weyl-fermion-mehrfach-nachgewiesen/}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Weyl-Fermion mehrfach nachgewiesen}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Welt der Physik{{#if: 2024-08-27 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
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L. X. Zhao, G. F. Chen, Z. Fang, X. Dai, T. Qian and H. Ding|^^||+1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}} > 1
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Formulierung
- <math> \begin{align}
\mathrm i \sigma^\mu \partial_\mu \Psi_R &= 0 \\ \mathrm i \bar \sigma^\mu \partial_\mu \Psi_L &= 0 \end{align}</math>
mit
- der imaginären Einheit <math>i</math>
- <math> \sigma^\mu = \begin{pmatrix} \sigma^0 & + \vec \sigma\end{pmatrix}</math>
- <math>\bar \sigma^\mu = \begin{pmatrix} \sigma^0 & - \vec \sigma\end{pmatrix}</math>
- der zweidimensionalen Einheitsmatrix <math>\sigma^0</math>
- den drei zweidimensionalen Pauli-Matrizen <math>\vec \sigma</math>.
Bei physikalischen Experimenten, an denen die schwache Wechselwirkung beteiligt ist, kann man Neutrinos oft in sehr guter Näherung als Weyl-Fermionen beschreiben, d. h. als masselos. Da Neutrinos bei diesen Experimenten nur als linkshändige Teilchen mit negativer Helizität beobachtet werden, beschreibt in diesem Fall
- <math>\Psi_L</math> das linkshändige Neutrino
- <math>\Psi_R</math> das rechtshändige Antineutrino.
Herleitung
Die Darstellung der Lorentzgruppe auf Dirac-Spinoren ist reduzibel. In einer geeigneten Darstellung der Dirac-Matrizen, der Weyl-Darstellung, transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er-Spinoren getrennt, weshalb sie auch als Bispinoren bezeichnet werden:
- <math>\Psi = \begin{pmatrix}
\Psi_L\\ \Psi_R \end{pmatrix}</math>
Die 2er-Spinoren <math>\Psi_L</math> und <math>\Psi_R</math> sind die links- und rechtshändigen Weyl-Spinoren. Sie sind die Eigenzustände des Chiralitätsoperators <math>\gamma^5</math>, wenn man ihn in der Weyl-Darstellung schreibt:
- <math>\begin{align}
\gamma^5 \begin{pmatrix}\Psi_L \\ 0\end{pmatrix} &= - \begin{pmatrix}\Psi_L \\ 0\end{pmatrix} \\ \gamma^5 \begin{pmatrix}0 \\ \Psi_R\end{pmatrix} &= + \begin{pmatrix} 0 \\ \Psi_R\end{pmatrix} \end{align}</math>.
Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse <math>m</math> gekoppelt:
- <math>
\left(\mathrm i\gamma^\mu \partial_\mu - m\right)\Psi= \begin{pmatrix} -m& \mathrm i \sigma^\mu \partial_\mu\\ \mathrm i \bar \sigma^\mu \partial_\mu &-m \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\Psi_L\\\Psi_R\end{pmatrix} = 0 </math>.
Verschwindet die Masse (<math>m = 0</math>), so entkoppelt die vierdimensionale Dirac-Gleichung in die beiden unter „Formulierung“ genannten Gleichungen für den links- und den rechtshändigen Spinor.
Chirale Kopplung
Bei der Beschreibung der elektroschwachen Wechselwirkung werden links- und rechtshändige Spinoren unterschiedlich, aber Lorentz-kovariant an Vektorfelder gekoppelt. Diese spezielle Art der Kopplung wird auch als chirale Kopplung bezeichnet. Sie entsteht, indem die Ableitungen nach den Koordinaten durch die folgende kovariante Ableitung ersetzt werden:
- <math>D_\mu = \partial_\mu - \mathrm i g T_a W^a_\mu</math>
Dabei bezeichnen
- <math>g</math> die Kopplungskonstante,
- <math>T_a</math> die Generatoren der Lie-Algebra der Eichgruppe und
- <math>W^a_\mu</math> die Komponenten der Eichfelder.
Die Eichgruppe kann für links- und rechtshändige Teilchen verschieden gewählt werden, ohne dass die Lorenz-Kovarianz dadurch beeinträchtigt wird.
Einzelnachweise
<references/>
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:URL
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:Linktext
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:Datum
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- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link/URL fehlt
- Teilchenphysik