Dirac-Spinor

Ein Dirac-Spinor ist ein Begriff aus der Mathematik, der nach Paul Dirac benannt ist. Dirac-Spinoren sind Elemente der fundamentalen Darstellung <math>\Delta</math> der komplexifizierten Clifford-Algebra <math>\mathrm{Cliff}(p,q)</math> und somit eine bestimmte Gattung von Spinoren (Vektoren). Sie sind ein nützliches Konzept der Quantenphysik.

Häufig als Dirac-Spinoren bezeichnet werden auch Lösungen der Dirac-Gleichung. Diese sind Dirac-Spinorfelder, d. h. jedem Punkt der Raumzeit wird ein vierdimensionaler Dirac-Spinor zugeordnet.

Mathematische Konstruktion

Sei <math>n = p + q</math>.

Die komplexifizierte Clifford-Algebra <Math>\mathrm{Cliff}(p,q)</Math> ist

isomorph zur Matrizenalgebra <Math>Mat_{2^k}(\Complex)</Math>, falls <math>n = 2k</Math> gerade ist, oder
isomorph zur Matrizenalgebra <Math>Mat_{2^{k-1}}(\Complex) \oplus Mat_{2^{k-1}}(\Complex)</Math>, falls <Math>n = 2k - 1</Math> ungerade ist.

In jedem Fall hat sie eine kanonische <math>2^k</math>-dimensionale Darstellung, die also für alle Signaturen <Math>(p,q)</Math> mit <Math>n = p + q</Math> existiert und auch eine Darstellung der Spin-Gruppe <Math>\mathrm{Spin}(p,q)</Math> ist. Diese Darstellung heißt Spinor-Darstellung, die Vektoren dieses Darstellungsraumes werden als Dirac-Spinoren bezeichnet.

In geraden Dimensionen <math>n = 2k</math> ist die Spinor-Darstellung, als Darstellung von <math>\mathrm{Spin}(p,q)</math> betrachtet, reduzibel. Sie kann zerlegt in zwei Weyl-Spinoren der Dimension <math>2^{k - 1}</math> werden, es gibt also zwei Darstellungsräume, so dass <math>\Delta_{2k} = \Delta^+_{2k} \oplus \Delta^-_{2k}</math>. Die Darstellungen mit den Darstellungsräumen <math>\Delta^+_{2k}, \Delta^-_{2k}</math> und auch für ungerade Dimensionen <math>n = 2k+1</math> mit dem Raum <math>\Delta_{2k+1}</math> sind irreduzibel.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Anwendung in der Elementarteilchenphysik

Dirac-Spinoren in 3+1 Raum-Zeit-Dimensionen, also zu <math>\mathrm{Cliff}(3,1)</math>, dienen in der Quantenelektrodynamik zur mathematischen Beschreibung von Fermionen mit Spin 1/2. Zu diesen Dirac-Fermionen gehören im Standardmodell der Teilchenphysik sämtliche fundamentalen Fermionen. In diesem Fall sind die Dirac-Spinoren vierdimensional, gehören zu einer Darstellung der Lorentzgruppe und sind Lösungen der Dirac-Gleichung. In String- und Branentheorien werden auch Dirac-Spinoren in höheren Dimensionen betrachtet.

Dagegen wurden Majorana-Fermionen bisher nicht gefunden, aber von manchen vereinheitlichten Feldtheorien vorhergesagt. Sie entsprechen reellen Darstellungen der Cliffordalgebren.

Literatur

Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Vieweg Verlag, ISBN 978-3-528-06926-1.
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Einzelnachweise